Minimalpolynom bestimmen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Heyho!
Ich hab da mal ne Frage zur Bestimmung des Minimalpolynoms eines algebraischen Elementes über einem Körper [mm] (\IQ)
[/mm]
Gibt es da irgendwie einen Trick, wie das geht??? Bei Elementen der Form [mm] \wurzel{m}+\wurzel{n} [/mm] krieg ich das gerade noch so hin mit ein bisschen quadrieren, umformen, quadrieren etc.
Aber z. B.: [mm] \alpha=\wurzel[3]{3}+\bruch{1}{\wurzel[3]{3}}
[/mm]
Irgendwie klar ist ja, dass der Grad 3 sein sollte, da ja [mm] \bruch{1}{\wurzel[3]{3}} [/mm] in [mm] \IQ(\wurzel[3]{3}) [/mm] enthalten ist...
Also sollte doch durch "hoch 3 nehmen" irgendwie schon wat Vernünftiges rauskommen, oder nicht? Kommsts allerdings nich. -_-
So, ich hab jetzt gehört, dass man das Mipo auch irgendwie durch ein lineares Gleichungssystem bestimmen sollen kann. Wie funktioniert denn diese Methode?
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> Heyho!
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> Ich hab da mal ne Frage zur Bestimmung des Minimalpolynoms
> eines algebraischen Elementes über einem Körper [mm](\IQ)[/mm]
> Gibt es da irgendwie einen Trick, wie das geht??? Bei
> Elementen der Form [mm]\wurzel{m}+\wurzel{n}[/mm] krieg ich das
> gerade noch so hin mit ein bisschen quadrieren, umformen,
> quadrieren etc.
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> Aber z. B.: [mm]\alpha=\wurzel[3]{3}+\bruch{1}{\wurzel[3]{3}}[/mm]
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> Irgendwie klar ist ja, dass der Grad 3 sein sollte, da ja
> [mm]\bruch{1}{\wurzel[3]{3}}[/mm] in [mm]\IQ(\wurzel[3]{3})[/mm] enthalten
> ist...
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> Also sollte doch durch "hoch 3 nehmen" irgendwie schon wat
> Vernünftiges rauskommen, oder nicht? Kommsts allerdings
> nich. -_-
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> So, ich hab jetzt gehört, dass man das Mipo auch irgendwie
> durch ein lineares Gleichungssystem bestimmen sollen kann.
> Wie funktioniert denn diese Methode?
Hallo Salamence,
ich habe mit deinem [mm] \alpha [/mm] nur grad mal ein bisschen gespielt.
Wenn p das zugehörige Minimalpolynom sein soll, dann muss
ja [mm] p(\alpha)=0 [/mm] sein. Ferner ist der Grad von p = 3 , wie du dir
schon überlegt hast.
Also habe ich mir mal die Potenzen von [mm] \alpha [/mm] notiert, wobei
ich [mm] w:=\wurzel[3]{3} [/mm] gesetzt habe. Dann ist:
[mm] $\alpha^0\ [/mm] =\ 1$
[mm] $\alpha^1\ [/mm] =\ [mm] w+\frac{1}{w}$
[/mm]
[mm] $\alpha^2\ [/mm] =\ [mm] w^2+2+\frac{1}{w^2}$
[/mm]
[mm] $\alpha^3\ [/mm] =\ [mm] w^3+3\,w+\frac{3}{w}+\frac{1}{w^3}$
[/mm]
Wegen [mm] w^3=3 [/mm] vereinfacht sich die letzte Zeile zu:
[mm] $\alpha^3\ [/mm] =\ [mm] 3+3\,w+\frac{3}{w}+\frac{1}{3}\ [/mm] =\ [mm] 3*\underbrace{\left(\,w+\frac{1}{w}\,\right)}_{\alpha}+\ \frac{10}{3}$
[/mm]
Somit muss [mm] \alpha [/mm] die Gleichung
[mm] $\alpha^3-3\,\alpha-\frac{10}{3}\ [/mm] =\ 0$
erfüllen. Das Polynom
$\ p(x)\ =\ [mm] x^3-3\,x-\frac{10}{3}$
[/mm]
muss also wohl das Minimalpolynom sein.
LG Al-Chw.
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