Minimalpolynom endl. Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:28 Sa 05.03.2011 | | Autor: | wieschoo |
| Aufgabe | | Finde ein Polynom in [mm]\IF_2[X][/mm], das das Minimalpolynom eines primitiven Elements [mm]\alpha[/mm] von [mm]\IF_{64}/\IF_2[/mm] ist. |
Ich kenne den Satz:
Betrachte einen endlichen Körper [mm]\IF_{64}[/mm] mit [mm]64=2^6[/mm]. Ist [mm]\alpha\in \IF_{64}[/mm] so gibt es ein [mm]d\mid 6[/mm] mit [mm]\IF_{2}(\alpha)=\IF_{2^6}[/mm]. Daher ist [mm]m_\alpha\in \IF_p[X][/mm] vom Grad d.
Das heißt für mich, das das Minimalpolynom vom grad die 6 teilen muss. Mehr kann ich leider aus dem Satz nicht heraus lesen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:25 Mo 07.03.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Finde ein Polynom in [mm]\IF_2[X][/mm], das das Minimalpolynom eines
> primitiven Elements [mm]\alpha[/mm] von [mm]\IF_{64}/\IF_2[/mm] ist.
>
> Ich kenne den Satz:
> Betrachte einen endlichen Körper [mm]\IF_{64}[/mm] mit [mm]64=2^6[/mm]. Ist
> [mm]\alpha\in \IF_{64}[/mm] so gibt es ein [mm]d\mid 6[/mm] mit
> [mm]\IF_{2}(\alpha)=\IF_{2^d}[/mm]. Daher ist [mm]m_\alpha\in \IF_p[X][/mm]
> vom Grad d.
Ich hab das eine 6 mal durch d ersetzt, jetzt stimmt die Aussage 
> Das heißt für mich, das das Minimalpolynom vom grad die 6
> teilen muss. Mehr kann ich leider aus dem Satz nicht heraus
> lesen.
Nun, das Minimalpolynom eines primitiven Elementes muss Grad 6 haben. Hier haben wir nun ein kleines Problem: das Wort "primitives Element" kann zwei Bedeutungen haben:
a) ein Element [mm] $\alpha$ [/mm] mit [mm] $\IF_{64} [/mm] = [mm] \IF_2(\alpha)$;
[/mm]
b) ein Element [mm] $\alpha$ [/mm] mit [mm] $\IF_{64}^\ast [/mm] = [mm] \langle \alpha \rangle$.
[/mm]
Hier impliziert b) auch a), aber nicht umbedingt umgekehrt. Fuer a) brauchst du einfach ein irreduzibles Polynom von Grad 6. Fuer b) brauchst du ein irreduzibles Polynom von Grad 6 mit weiteren Eigenschaften.
Fuer b) finde erstmal irgendein irreduzibles Polynom $f$ vom Grad 6 und betrachte [mm] $\IF_{64} [/mm] = [mm] \IF_2[x]/(f)$. [/mm] Dann bestimme die multiplikative Ordnung von der Restklasse von $x$, und falls die kleiner $64 - 1$ ist, die von $x + 1$. (Wenn die ebenfalls $< 63$ ist: weitersuchen...)
Wenn du ein Element hast, dessen mult. Ordnung 63 ist, dann musst du dessen Minimalpolynom bestimmen. (Alternativ: das charakteristische Polynom bestimmen, das ist hier gleich dem Minimalpolynom.)
LG Felix
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:50 Mo 07.03.2011 | | Autor: | wieschoo |
> Moin!
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> > Finde ein Polynom in [mm]\IF_2[X][/mm], das das Minimalpolynom eines
> > primitiven Elements [mm]\alpha[/mm] von [mm]\IF_{64}/\IF_2[/mm] ist.
> >
> > Ich kenne den Satz:
> > Betrachte einen endlichen Körper [mm]\IF_{64}[/mm] mit [mm]64=2^6[/mm].
> Ist
> > [mm]\alpha\in \IF_{64}[/mm] so gibt es ein [mm]d\mid 6[/mm] mit
> > [mm]\IF_{2}(\alpha)=\IF_{2^d}[/mm]. Daher ist [mm]m_\alpha\in \IF_p[X][/mm]
> > vom Grad d.
>
> Ich hab das eine 6 mal durch d ersetzt, jetzt stimmt die
> Aussage
Ja, da hatte ich mich verschrieben.
>
> > Das heißt für mich, das das Minimalpolynom vom grad die 6
> > teilen muss. Mehr kann ich leider aus dem Satz nicht heraus
> > lesen.
>
> Nun, das Minimalpolynom eines primitiven Elementes muss
> Grad 6 haben. Hier haben wir nun ein kleines Problem: das
> Wort "primitives Element" kann zwei Bedeutungen haben:
> a) ein Element [mm]\alpha[/mm] mit [mm]\IF_{64} = \IF_2(\alpha)[/mm];
Das wäre die Bedeutung mit der ich arbeiten soll.
Ist L/K eine einfache Körpererweiterung mit [mm]L=K(\alpha)[/mm], dann heißt [mm]\alpha[/mm] bei uns ein primitives Element.
> b)
> ein Element [mm]\alpha[/mm] mit [mm]\IF_{64}^\ast = \langle \alpha \rangle[/mm].
>
> Hier impliziert b) auch a), aber nicht umbedingt umgekehrt.
> Fuer a) brauchst du einfach ein irreduzibles Polynom von
> Grad 6. Fuer b) brauchst du ein irreduzibles Polynom von
> Grad 6 mit weiteren Eigenschaften.
>
> Fuer b) finde erstmal irgendein irreduzibles Polynom [mm]f[/mm] vom
> Grad 6 und betrachte [mm]\IF_{64} = \IF_2[x]/(f)[/mm]. Dann bestimme
Das Polynom f muss irreduzibel in [mm]\IR_2[X][/mm] sein?!
[mm]f=X^6+x+1[/mm] wäre ja ein solches Polynom.
Dann hätte ich ja [mm]\IF_{64} \cong\IF_2[X]/(x^6+x+1)[/mm]
> die multiplikative Ordnung von der Restklasse von [mm]x[/mm], und
> falls die kleiner [mm]64 - 1[/mm] ist, die von [mm]x + 1[/mm]. (Wenn die
Gilt nicht generell für die multiplikative Ordnung:
[mm]|F^\star_q|= q-1[/mm].
Ich glaube ich bin auf dem Holzweg. Wenn ich die multplikative Ordnung der Restklasse xon x bestimme, dann suche ich eine Potenz n mit [mm]x^n=1 \mod x^6+x+1[/mm]?
>
> Wenn du ein Element hast, dessen mult. Ordnung 63 ist, dann
> musst du dessen Minimalpolynom bestimmen. (Alternativ: das
> charakteristische Polynom bestimmen, das ist hier gleich
> dem Minimalpolynom.)
Ich kenne leider nur die Definition des Minimalpolynoms.
>
> LG Felix
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:37 Mo 07.03.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > Nun, das Minimalpolynom eines primitiven Elementes muss
> > Grad 6 haben. Hier haben wir nun ein kleines Problem: das
> > Wort "primitives Element" kann zwei Bedeutungen haben:
> > a) ein Element [mm]\alpha[/mm] mit [mm]\IF_{64} = \IF_2(\alpha)[/mm];
>
> Das wäre die Bedeutung mit der ich arbeiten soll.
Gut, dann ist es einfacher
> Das Polynom f muss irreduzibel in [mm]\IR_2[X][/mm] sein?!
In [mm] $\IF_2[x]$.
[/mm]
Du kannst jedes beliebige irreduzible Polynom von Grad 6 in [mm] $\IF_2[x]$ [/mm] nehmen. Jedes solche Polynom zerfaellt ueber [mm] $\IF_{2^6}$ [/mm] in Linearfaktoren, und jedes primitive Element von [mm] $\IF_{2^6}$ [/mm] (ueber [mm] $\IF_2$) [/mm] hat solch ein Polynom als Minimalpolynom.
> [mm]f=X^6+x+1[/mm] wäre ja ein solches Polynom.
> Dann hätte ich ja [mm]\IF_{64} \cong\IF_2[X]/(x^6+x+1)[/mm]
Ja.
Und damit ist [mm] $x^6 [/mm] + x + 1$ eine Loesung der Aufgabe.
> > die
> multiplikative Ordnung von der Restklasse von [mm]x[/mm], und
> > falls die kleiner [mm]64 - 1[/mm] ist, die von [mm]x + 1[/mm]. (Wenn die
> Gilt nicht generell für die multiplikative Ordnung:
> [mm]|F^\star_q|= q-1[/mm].
Ja, von der ganzen Gruppe. Aber nicht von jedem Element: die Ordnung davon teilt $q - 1$. Wenn du einen Erzeuger von [mm] $\IF^\ast$ [/mm] suchst, dann musst du ein Element mit Ordnung $q - 1$ finden.
Das brauchst du aber fuer diese Aufgabe nicht 
> > Wenn du ein Element hast, dessen mult. Ordnung 63 ist, dann
> > musst du dessen Minimalpolynom bestimmen. (Alternativ: das
> > charakteristische Polynom bestimmen, das ist hier gleich
> > dem Minimalpolynom.)
> Ich kenne leider nur die Definition des Minimalpolynoms.
Du kannst ein Element [mm] $\alpha \in [/mm] L$ als Endomorphismus vom $K$-Vektorraum $L$ auffassen durch [mm] $\varphi [/mm] : L [mm] \to [/mm] L$, $x [mm] \mapsto \alpha [/mm] x$. Dieser Endomorphismus hat ein charakteristisches Polynom, eine Spur, eine Norm. Norm und Spur entsprechen gerade der Definition bei Galoisgruppen die du kennst, und das char. Polynom ist in diesem Fall eine Potenz des Minimalpolynoms: ist [mm] $m_\alpha$ [/mm] das Minimalpoly. und [mm] $\xi_\alpha$ [/mm] das char. Poly., so gilt [mm] $\xi_\alpha^{[L : K] / [K(\alpha) : K]} [/mm] = [mm] m_\alpha$.
[/mm]
Wenn du also das char. Polynom ausrechnest (etwa indem du eine $K$-Basis von $L$ hinschreibst und [mm] $\varphi_\alpha$ [/mm] als Matrix bzgl. der Basis ausrechnest, und dann das char. Poly. ausrechnest) und dieses irreduzibel ist, hast du ein Element [mm] $\alpha$ [/mm] mit $L = [mm] K(\alpha)$ [/mm] und das char. Polynom ist das Minimalpolynom.
LG Felix
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