Minimalpolynome einer Matrix M < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:17 Di 11.01.2005 | | Autor: | Grave |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Bei der bearbeitung meiner LA-Hausaufgaben waren mehrmals das MinimalPolynom einer Matrix M und teilweise ihrer transponierten Matrix zu berechnen. Wenn man das MinPoly. der transponierte Matrix berechnen sollte, war es mit dem den untransponierten identisch. Habe es auch für die anderen ausprobiert: selbes Ergebnis.
Der Test mit Maple für allg. 4x4 Matrizen ergab auch, das MinPoly(M) = MinPoly(M^tr) ist.
Nach Recherche in der Vorlesungsunterlagen, Google und Bücher, habe ich leider nirgendwo einen Satz gefunden, der sagt, das
MinPoly(M) = MinPoly(M^tr).
War das also Zufall, dass es bei den Aufgaben hingehauen hat, oder gibt es so einen Satz wirklich ? Wenn ja, habt ihr vll. eine Beweisidee ?
Vielen Dank für Aufklärung, Grave
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:36 Mi 12.01.2005 | | Autor: | Hexe |
Hm also ich weiss nicht ob es den Satz geschrieben gibt aber gelten tut das auf jeden Fall mit Beweis durch Def und scharfes Hinsehen. Will sagen: Das die beiden dasselbe Char. Polynom haben, geht klar daraus hervor, dass sie dieselbe Determinante haben. Und warum sollte sich die Struktur der Eigenräume ändern nur weil ich die Matrix spiegle.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:19 Mi 12.01.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi ihr beiden,
das Minimalpolynom ist doch über die Determinante von (A-xE) definiert
(also -x auf der Diagonalen rechnen (-: )
man muss also nur zeigen, dass die Determinante von M und M^tr gleich sind, dies ist aber nach dem Entwicklungssatz offensichtlich - zuerst entwickle man immer nach der ersten Spalte und im zweiten Fall immer nach der ersten Zeile...
btw: Transponieren ist kein Spiegeln, sondern eher sowas wie dualisieren..
(aber was es nun genau ist, will ich jetzt mal nicht drüber nachdenken^^)
viele Grüße
DaMenge
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:04 Mi 12.01.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
$A$ und [mm] $A^T$ [/mm] sind ähnlich zueinander (man zeigt, dass die Jordannormalformen ähnlich sind) und haben daher auch das gleiche Minimalpolynom.
Zum Dualcharakter der transponierten Matrix siehe man etwa hier, genauer:
Wir haben einen kontravarianter Funktor in der Kategorie der endlichdimensionalen Vektorräume, der jede lineare Abbildung in die duale Abbildung überführt:
$T : [mm] \begin{array}{ccc} \{f: V \to W\} & \mapsto & \{f^{\*} : W^{\*} \to V^{\*}\} \end{array}$.
[/mm]
Die Transponierte der Matrixdarstellung einer linearen Abbildung bezüglich fest gewählter Basen ist nun einfach die Matrixdarstellung der dualen Abbildung bezüglich der kanonischen Dualbasen.
Viele Grüße
Julius
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