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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:59 Fr 02.01.2015 | | Autor: | Nrjunkie |
| Aufgabe | Seien [mm] $2
Bestimme eine möglichst gute untere Schranke von
[mm] $\prod_{i=1}^{k}a_i [/mm] - [mm] \prod_{i=1}^{k}(a_i-1)$ [/mm] |
ich habe bis jetzt als untere Schranken
$2k$ bzw [mm] $2a_1$ [/mm] gefunden und auch bewiesen.
Diese sind aber nur in Spezialfällen wirklich "gut"
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:33 Fr 02.01.2015 | | Autor: | abakus |
Hallo,
möglicherweise (ich habe es nicht nachgeprüft) ist die Differenz besonders klein, wenn die beteiligten Zahlen aufeinander folgende Zahlen sind. Dann wäre das erste Produkt [mm]\frac{(k+1)!}{2}[/mm] und das zweite wäre k!.
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das mag schon sein, aber dann ist die Differenz [mm] $\frac{k-1}{2}$ [/mm] und das ist bei weitem kleiner als die von mir bereits gefundene untere Schranke $2k$
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:33 Fr 02.01.2015 | | Autor: | Nrjunkie |
Gesetzt den Fall, du hast mit deiner Vermutung recht, (hintereinanderfolg zahlen ergeben minimale Differenz)
dann wäre das Minimum
[mm] $\frac{(a_1+k-1)!}{(a_1-1)!}-\frac{(a_1+k-2)!}{(a_1-2)!}= k\frac{(a_1+k-2)!}{(a_1-1)!} \ge k\frac{(k+1)!}{2}$
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:45 Fr 02.01.2015 | | Autor: | abakus |
> Gesetzt den Fall, du hast mit deiner Vermutung recht,
> (hintereinanderfolg zahlen ergeben minimale Differenz)
> dann wäre das Minimum
> [mm]\frac{(a_1+k-1)!}{(a_1-1)!}-\frac{(a_1+k-2)!}{(a_1-2)!}= k\frac{(a_1+k-2)!}{(a_1-1)!} \ge k\frac{(k+1)!}{2}[/mm]
Hallo,
ich bin mir nicht sicher, wie "untere Schranke" zu verstehen ist.
Geht es nun darum, zu irgendwelchen vorgegebenen Zahlen [mm] $a_i$ [/mm] die untere Schranke zu finden, oder geht es sogar darum, eine untere Schranke für eben die Anodnung mit der kleinstmöglichen Differenz der Produkte zu finden?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:09 Fr 02.01.2015 | | Autor: | Nrjunkie |
Es geht darum eine untere Schranke zu finden, die für alle möglichen Werte von [mm] $a_i$ [/mm] gültig ist - entweder in Abhängigkeit von der Anzahl $k$ oder des max und min der [mm] $a_i$
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 So 18.01.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:57 Fr 02.01.2015 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Seien [mm]2
> Bestimme eine möglichst gute untere Schranke von
> [mm]\prod_{i=1}^{k}a_i - \prod_{i=1}^{k}(a_i-1)[/mm]
>
> ich habe bis jetzt als untere Schranken
> [mm]2k[/mm] bzw [mm]2a_1[/mm] gefunden und auch bewiesen.
> Diese sind aber nur in Spezialfällen wirklich "gut"
Vielleicht hiflt es, wenn du ein paar mehr Terme einfügst. Mal als konkretes Beispiel mit drei Variablen ohne Indices:
$a b c - (a-1)(b-1)(c-1) = a b c - (a-1) b c + (a-1) b c - (a-1) (b-1) c + (a-1) (b-1) c - (a-1) (b-1) (c-1) = b c + (a - 1) c + (a - 1) (b - 1)$
Genauso kannst du es als $a b + a (c - 1) + (b - 1) (c - 1)$ schreiben; wenn du nun $a < b < c$ hast, so hast du insb. $c - 1 [mm] \ge [/mm] b$ und $b - 1 [mm] \ge [/mm] a$, also $a b + a (c - 1) + (b - 1) (c - 1) [mm] \ge [/mm] a b + a b + a b = 3 a b$. Das ist schonmal eine viel bessere Schranke als $2 a$ oder $6$ (wie du sie oben hast).
Allgemeiner (nach dem gleichen Prinzip) kannst du vermutlich $k [mm] a_1 \cdots a_{k-1}$ [/mm] als untere Schranke bekommen, wenn ich mich nicht vertan hab.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:54 Fr 02.01.2015 | | Autor: | Nrjunkie |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Den Beweis deiner Vermutung habe ich nun folgendermaßen gemacht.
Aufgrund der Weierstrassschen Produktungleichung ist
$\prod_{i=1}^{k}(1-\frac{1}{a_i}) \le 1-\sum_{i=1}^{k}\frac{1}{a_i}}$ und durch die monotonie der $a_i$
$\le 1-\frac{k}{a_k}$
Woraus durch Umformung Deine Vermutung folgt.
Danke für den Hinweis.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:47 Fr 02.01.2015 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Den Beweis deiner Vermutung habe ich nun folgendermaßen
> gemacht.
> Aufgrund der Weierstrassschen Produktungleichung ist
>
> [mm]\prod_{i=1}^{k}(1-\frac{1}{a_i}) \le 1-\sum_{i=1}^{k}\frac{1}{a_i}}[/mm]
> und durch die monotonie der [mm]a_i[/mm]
>
> [mm]\le 1-\frac{k}{a_k}[/mm]
>
> Woraus durch Umformung Deine Vermutung folgt.
Das ist schon gleich ein ganzes Stück eleganter! (Und jetzt kenne ich die ![[]](/images/popup.gif) Ungleichung auch.)
LG Felix
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