Minimum/Gleichungssystem < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:24 Do 25.06.2009 | | Autor: | T_sleeper |
| Aufgabe | Es seien p,q>0 fest und [mm] \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1.
[/mm]
Berechne das Minimum von [mm] f(x,y)=\frac{1}{p}x^p+\frac{1}{q}y^q [/mm] (definiert auf [mm] \mathbb{R}^2) [/mm] unter der Nebenbedingung g(x,y)=xy=1. |
Hallo,
ich mache hier folgendes:
[mm] L(x,y,\lambda)=\frac{1}{p}x^p+\frac{1}{q}y^q+\lambda(xy-1)=0.
[/mm]
Dann den Gradienten berechnen und =0 setzen:
[mm] $\frac{\partial L}{\partial x}=x^{p-1}+\lambda [/mm] y=0$
[mm] $\frac{\partial L}{\partial y}=y^{q-1}+\lambda [/mm] x=0$
[mm] $\frac{\partial L}{\partial\lambda}=xy-1=0$\\
[/mm]
Es folgt: [mm] $y=\frac{x^{p-1}}{-\lambda}.$ [/mm] Jetzt möchte ich x berechnen,
und da fangen die Probleme an: (einsetzen in 2te Gleichung führt zu:)
[mm] $\frac{(x^{p-1})^{q-1}}{-\lambda^{q-1}}+\lambda x=0\Leftrightarrow\frac{(x^{p-1})^{q-1}}{-\lambda^{q-1}}=-\lambda x\Leftrightarrow x=\frac{(x^{p-1})^{q-1}}{\lambda^{q}}$
[/mm]
Wie löse ich das ab da weiter auf? Oder ist es bisher schon falsch?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:47 Do 25.06.2009 | | Autor: | T_sleeper |
Hat sich erledigt. Ich bin bereits auf die Lösung gekommen.
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