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| Aufgabe | Ein BEhälter aus Blech, dessen Fassungsvermögen 600l beträgt,soll die Form eines Zylinders mit unten angesetzer Halbkugel haben.
a) Wie ist die Form des Behälters zuwählen,d.h., in welchem Verhältnis stehen Radius und Höhe, wenn ein Minimum an Blech verbraucht werden soll?
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also, hatte 2 lösungsansätze.
erstmal habe ich die formel aufgestellt:
600= [mm] \pi [/mm] * r² * h + [mm] \bruch{2}{3} [/mm] * [mm] \pi [/mm] *r³
und jenes habe ich nach h aufgelöst.
das h wollte ich dann in die formel für die mantelfläche einsetzen, ableiten und minimimum bestimmen.
habe folgende probleme:
erstens is die funktion dann viiieeeel zu kompliziert, da wir nur n einfachen Taschenrechner haben :P
zweitens berechne ich doch dann ein bestimmten wert für r und demnach einen für h. muss ich dann davon dann ein verhältnis von r zu h bestimmen? oder geht das irgendwie viel einfacher?
zweite idee von mir war, die 600l erstma zu überspringen und einfach die funktion für die mantelfläche ableiten.
nur leider habe ich dann eine funktion mit 2 unbekannten also: f(r,h)
und das kann ich irgendwie nicht ableiten.
zum verständnis und evtll hilfe:
f(h,r)= 2 * [mm] \pi [/mm] * h * r + 2 * [mm] \pi [/mm] * r²
danke schonmal im voraus für eure hilfe.. ich stehe total aufm schlauch.
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Hallo satanicskater!
Dein beschriebener Ansatz ist richtig. Die entshehende Zielfunktion ist aber nun nicht sonderlich kompliziert, bei dem lediglich ein gebrochenrationaler Term auf tritt.
Dies sollte auch zu Fuß zu schaffen sein.
Wie lautet denn Deine Zielfunktion? Diese sollte man auch erst etwas zsammenfassen, bevor man an das Ableiten denkt.
Gruß vom
Roadrunner
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hallo roadrunner
zuallererst danke für die schnelle antwort.
welcher lösungsansatz war denn jetzt richtig? der erste?
also ich bekomme für h
h= [mm] \bruch{600- \bruch{2}{3} * r³}{\pi * r²}
[/mm]
kann man das vereinfachen? :P
und das setze ich dann in die oben genannte f(h,r) funktion ein.
f(r)= [mm] 2*\pi*r*(\bruch{600- \bruch{2}{3} * r³}{\pi * r²}) [/mm] + [mm] 2*\pi*r²
[/mm]
bis hierhin bin ichgekommen, dann wollte ich euch erst fragen obs überhaupt richtig is, weil ich sowas auch nciht gut vereinfachen kann irgendwie.
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> also ich bekomme für h
>
> h= [mm]\bruch{600- \bruch{2}{3} * r³}{\pi * r²}[/mm]
>
> kann man das vereinfachen? :P
ja, nimm den Term auseinander und schreibe
ihn in der Form [mm] h=A*r^{-2}+B*r [/mm] !
> und das setze ich dann in die oben genannte f(h,r) funktion
> ein.
>
> f(r)= [mm]2*\pi*r*(\bruch{600- \bruch{2}{3} * r³}{\pi * r²})+ 2*\pi*r²[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
hier fehlt irgendwo ein Faktor [mm] \pi [/mm] !
Ich erhalte am Schluss [mm] f(r)=\bruch{2\pi}{3}r^2-\bruch{1200}{r}
[/mm]
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$ [mm] 2\cdot{}\pi\cdot{}r\cdot{}(\bruch{600- \bruch{2}{3}*\pi \cdot{} r³}{\pi \cdot{} r²})+ 2\cdot{}\pi\cdot{}r² [/mm] $
ja gut ich habe ein [mm] \pi [/mm] in der klammer vergessen.
trotzdem komme ich nicht auf dein ergebnis.
hab schon 3seiten voll geschrieben :D
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Hallo satanicskater!
Du musst aber schon auf gegebene Tipps eingehen ... Forme also zunächst innerhalb der Klammer um:
[mm] $$\bruch{600- \bruch{2}{3} * \pi*r³}{\pi * r²} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{600}{\pi * r²}-\bruch{\bruch{2}{3} * \pi*r³}{\pi * r²} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{600}{\pi * r²}-\bruch{2}{3} [/mm] * r \ = \ [mm] \bruch{600}{\pi}*r^{-2}-\bruch{2}{3} [/mm] * r$$
Und diese Terme nun jeweils mit [mm] $2*\pi*r$ [/mm] ausmultiplizieren.
Gruß vom
Roadrunner
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ah okay, danke, habs verstanden.
sehr nett, danke
greeetz satanicskater
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:06 Fr 19.09.2008 | | Autor: | Gabs |
Ich sehe in der Mitteilung von roadrunner einen Fehler. Das "+" - Zeichen muss ein "-"-Zeichen sein. Sonst richtig.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:10 Fr 19.09.2008 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Gabs!
Gut aufgepasst. Da hat wohl "jemand"  etwas schluderig gearbeitet.
Es ist aber nunmehr korrigiert. Danke für den Hinweis ...
Gruß vom
Roadrunner
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kann mir jemand bitte meinen fehler zeigen:
h= [mm] \bruch{600}{r²\pi } [/mm] - [mm] \bruch{2}{3}r
[/mm]
Eingesetzt in O= [mm] 2\pi*r*h [/mm] + [mm] 2r²*\pi [/mm]
O= [mm] 2\pi*r*(\bruch{600}{r²\pi } [/mm] - [mm] \bruch{2}{3}r) [/mm] + [mm] 2r²*\pi [/mm]
klammer ausmultiplizieren:
O= [mm] \bruch{1200*\pi*r}{r²*\pi}-\bruch{4}{3}*\pi*r²+2*\pi*r²
[/mm]
O= [mm] \bruch{1200}{r} [/mm] + [mm] \bruch{2}{3}*\pi*r²
[/mm]
irgendwo muss ich ein vorzeichenfehler haben, weil ihr alle immer
[mm] -\bruch{1200}{r} [/mm] + [mm] \bruch{2}{3}*\pi*r² [/mm] raus habt.
bitte um hilfe :)
und vielen danke schonma im voraus
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Hallo, deine Funktion
[mm] O(r)=\bruch{1200}{r}+\bruch{2\pi}{3}r^{2} [/mm] ist korrekt, das "-" ist versehentlich bei Al-Chwarizmi reingerutscht,
Steffi
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oh okay, dankeschön.
nur leider komme ich auf ein radius von circa 16 und wenn ich den radius in die formel für die höhe einsetze komme ich auf eine höhe von -10. deswegen war ich verunsichert.
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Hallo, nach dem Nullsetzen der ersten Ableitung erhälst du
[mm] \bruch{900}{\pi}=r^{3}
[/mm]
es ist die 3. Wurzel zu ziehen, du hast die 2. Wurzel gezogen,
Steffi
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:D in der tat. sehr gut aufgepasst. dankeschön .
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soo jetzt habe ich für r=6,592 raus. nur wenn ich das in die formel für h einsetze kommt bei mir 4.1 * 10^-4 raus.
das kann doch nciht sein oder?
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Hallo, dein Radius ist ok, was den Zahlenwert betrifft, der Haken an der Sache, wir haben mit der Einheit Liter begonnen, also [mm] dm^{3}, [/mm] also r=6,59dm=65,9cm, also h kann so nicht stimmen, jetzt holen wir
[mm] h=\bruch{600}{\pi*r^{2}}-\bruch{2}{3}r
[/mm]
[mm] h=\bruch{600}{\pi*6,59^{2}}-\bruch{2}{3}*6,59
[/mm]
jetzt solltest du deinen Taschenrechner erneut fragen, sicherlich ein Eingabefehler
[mm] h=4,416*10^{-3}dm=0,004416dm=0,04416cm
[/mm]
machst du jetzt die Probe, erhälst du [mm] 600dm^{3} [/mm] bzw. 600l,
hier noch von einem Zylinder zu sprechen, na gut, mathematisch ist er da, mit einer Höhe von 0,4416mm, das Volumen ist also nahezu vollständig in der Halbkugel,
JETZT KOMMT'S:
mache dir mal die Mühe, und rechne mit r=6,592207651dm, also (fast) nicht gerundet, dann hat diese Halbkugel ja schon das Volumen von 600 [mm] dm^{3} [/mm] bzw. 600l, also nix mehr mit Zylinder, mit anderen Worten, die 600 Liter bringt man in einer Halbkugel unter, wenn man den minimalen Materialverbrauch haben möchte, ist ja auch logisch,
setze mal in die Gleichung der Halbkugel [mm] V=\bruch{2}{3}*\pi*r^{3} [/mm] für [mm] r=(\bruch{900}{\pi})^{\bruch{1}{3}} [/mm] ein, erkennst du etwas?
Steffi
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hallo zusammen,
jetzt stellt sich nach all der Rechnerei doch noch eine
ganz wichtige Frage:
Soll der Behälter eigentlich oben offen sein oder ist
er geschlossen ?
Aus der ursprünglichen Fragestellung geht dies nicht
hervor. Man kann also eigentlich zwei Varianten der
Aufgabe betrachten.
Wenn der Kessel offen sein soll, ergibt sich die
Lösung mit der Halbkugel mit r=6.592 und h=0
Für den geschlossenen Behälter: r=h=4.857
Gruß
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> Hallo, deine Funktion
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> [mm]O(r)=\bruch{1200}{r}+\bruch{2\pi}{3}r^{2}[/mm] ist korrekt, das
> "-" ist versehentlich bei Al-Chwarizmi reingerutscht,
tut mir leid, dass ich zu so viel Kopfzerbrechen Anlass
gegeben habe
Al-Chwarizmi
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