Mittelpunkt Umkreis < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:58 Mo 30.07.2012 | | Autor: | heinze |
| Aufgabe | Ein Dreieck hat die Punkte [mm] A=\vektor{-1 \\ 1}, B=\vektor{3 \\ 4}, C=\vektor{9 \\ -4}
[/mm]
Bestimme den Mittelpunkt des Umkreises und berechne den Radius.
Als Mittelpunkt war als Vergleichsergebnis M= [mm] \vektor{4 \\ -\bruch{3}{2}} [/mm] |
Wie man auf das Ergebnis kommt ist mir ein Rätsel! Ist es möglich dass das Ergebnis sogar falsch ist?
Zuerst muss der Mittelpunkt der Strecke bestimmt werden, dann wird dieser Mittelpunkt der Strecke als Ortsvektor genommen und ein senkrechter Richtungsvektor. So erhalte ich die Mittelsenkrechten. Anschlißend gleichsetzen um Schnittpunkt zu berechnen. Allerdings kommt dann nicht das Ergebnis raus.
LG heinze
|
|
| |
|
Hallo, benutze hier die Definition des Umkreises, der Mittelpunkt des Umkreises ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten, bestimme die Geradengleichung durch die Punkte A und B, bestimme den Mittelpunkt der Strecke [mm] \overline{AB}, [/mm] dann die senkrechte Gerade durch den Mittelpunkt der Strecke [mm] \overline{AB}, [/mm] analog mit den Punkten A und C, das Ergebnis ist ok, Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:23 Mo 30.07.2012 | | Autor: | heinze |
Was habe ich dann falsch gemacht?
[mm] M_{AB}=\vektor{-1 \\ 1}+\bruch{1}{2}\vektor{4 \\ 3}= \vektor{1 \\ 2,5}
[/mm]
[mm] m_{[AB]}=\vektor{1 \\ 2,5}+\lambda_1\vektor{-3 \\ 4}
[/mm]
[mm] M_{BC}=\vektor{3 \\ 4}+\bruch{1}{2}\vektor{6 \\ -8}= \vektor{6 \\ 0}
[/mm]
[mm] m_{[BC]}=\vektor{6 \\ 0}+\lambda_2\vektor{8 \\ 6}
[/mm]
Dann gleichsetzen:
[mm] \vektor{1 \\ 2,5}+\lambda_1\vektor{-3 \\ 4}=\vektor{6 \\ 0}+\lambda_2\vektor{8 \\ 6}
[/mm]
[mm] 1-3\lambda_1=6+8\lambda_2
[/mm]
[mm] 2,5+4\lambda_1= 6\lambda_2
[/mm]
[mm] \lambda_1=-0,25
[/mm]
[mm] \lambda_2=-1
[/mm]
Wo hab ich hier falsch gerechnet? Ich finde meinen fehler leider nicht.
LG
heinze
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Wo hab ich hier falsch gerechnet? Ich finde meinen fehler
> leider nicht.
du hast die Lösungen für [mm] \lambda_1 [/mm] und [mm] \lambda_2 [/mm] vertauscht.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:38 Mo 30.07.2012 | | Autor: | heinze |
Ja stimmt sorry, aber das Ergebnis stimmt dann trotzdem nicht mit der Musterlösung überein!
LG heinze
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Ja stimmt sorry, aber das Ergebnis stimmt dann trotzdem
> nicht mit der Musterlösung überein!
sicher nicht? 
Rechne nochmal genau nach, es passt nämlich.
Vielleicht würdest du dir auch einen riesengroßen Gefallen tun, wenn du in der analytischen Geometrie vollständig auf Dezimalzahlen verzichten und dafür mit Brüchen arbeiten würdest.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:00 Mo 30.07.2012 | | Autor: | heinze |
Ich habe schon zig mal nachgerechnet und komme immer auf mein Ergebnis was ich hier gepostet habe, versteh ich nicht so recht. Mit Brüchen habe ich auch schon gerechnet. Habe ich die Gleichung der Mittelsenkrechten vielleicht falsch aufgestellt?
LG
heinze
|
|
|
| |
|
> Ich habe schon zig mal nachgerechnet und komme immer auf
> mein Ergebnis was ich hier gepostet habe,
Hallo,
welchen Punkt Du am Ende ausgerechnet hast, hast Du uns bisher nicht verraten.
Was in bei Dir in der geposteten Rechnung schiefgelaufen ist, kannst Du hier nachlesen.
> versteh ich nicht
Du mußt die Ergebnisse für [mm] \lambda_1 [/mm] und [mm] \lambda_2 [/mm] vertauschen.
So schwer ist das doch nicht, oder?
> so recht. Mit Brüchen habe ich auch schon gerechnet. Habe
> ich die Gleichung der Mittelsenkrechten vielleicht falsch
> aufgestellt?
Nein.
LG Angela
>
>
> LG
> heinze
|
|
|
| |
|
Hallo, du hattest das Gleichungssystem
(1) [mm] 1-3*\lambda_1=6+8*\lambda_2
[/mm]
(2) [mm] 2,5+4*\lambda_1=6*\lambda_2
[/mm]
multipliziere (1) mit 4 und (2) mit 3
(1) [mm] 4-12*\lambda_1=24+32*\lambda_2
[/mm]
(2) [mm] 7,5+12*\lambda_1=18*\lambda_2
[/mm]
addiere beide Gleichungen
[mm] 11,5=24+50*\lambda_2
[/mm]
[mm] -12,5=50*\lambda_2
[/mm]
[mm] \lambda_2=-0,25
[/mm]
einsetzen in
[mm] \vektor{6 \\ 0}-0,25*\vektor{8 \\ 6}=\vektor{6 \\ 0}-\vektor{2 \\ 1,5}=\vektor{4 \\ -1,5}
[/mm]
jetzt hast du den Mittelpunkt
Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:47 Mo 30.07.2012 | | Autor: | heinze |
Danke, ich habe meinen Fehler gefunden!
|
|
|
| |
|
Hallo,
hier nochmal ein anderer Ansatz zur Berechnung des Mittelpunkts:
Da es sich um den Umkreis handelt gilt offensichtlich:
[mm] |\overrightarrow{AM}|= |\overrightarrow{BM}|= |\overrightarrow{CM}| [/mm] =r
und somit auch [mm] |\overrightarrow{AM}|^2= |\overrightarrow{BM}|^2= |\overrightarrow{CM}|^2 =r^2
[/mm]
Damit hat man I: [mm] r^2 [/mm] = [mm] (m_{1}+1)^2 +(m_{2}-1)^2
[/mm]
II: [mm] r^2= (m_{1}-3)^2 +(m_{2}-4)^2
[/mm]
III: [mm] r^2= (m_{1}-9)^2 +(m_{2}+4)^2
[/mm]
Löst man dieses Gleichungssystem, so kommt man genau auf [mm] m_{1}=4 [/mm] und [mm] m_{2}= -\bruch{3}{2}.
[/mm]
Viele Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:02 Mo 30.07.2012 | | Autor: | heinze |
Jop, danke! Das ist auch noch eine gute Idee zur Berechnung und hier haut es auch hin. Ich habe lediglich den Lösungsweg gewählt der in der Vorlesund und im Skript behandelt wurde.
LG
heinze
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:36 Mo 30.07.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du [mm] \lambda_2=-0.25 [/mm] einsetzt musst du auch den Punkt rauskriegen!
Gruss leduart
|
|
|
|
