Mittelpunkt eines Kreisringes < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:20 Fr 24.07.2009 | | Autor: | tbone |
| Aufgabe | | Ein Kreisring mit den Radien r1 und r2 wird durch eine Gerade in den Punkten A,B und A',B' geschnitten. Gegeben sind die Radien r1 und r2 sowie die Punkte A und B und A' und B' mit Länge AB=A'B'. Wie berechnet sich allgemein der Mittelpunkt P des Kreisrings? |
Hallo zusammen,
die Aufgabenstellung kommt aus einer konkreten Anwendung: Die Position ringförmiger Bauteile soll bestimmt werden. Dazu scannt ein Lasersensor linienförmig über den Rand des Ringes (in der Aufgabenstellung Strecke AB bzw. A'B'). Bekannt sind nur die Punkte A und B sowie der Innenraduis r1 und der Außenradius r2.
Lösungsansätze:
Zunächst: Weil nicht A' und B' aus der Aufgabenstellung bekannt sind, ergibt sich, dass es vier Lösungen gibt (oder seh ich schon den Wald nicht mehr?).
Die Breite d des Rings ist bekannt (d=r2-r1). Wenn man sich das graphisch aufzeichnet ....
[Dateianhang nicht öffentlich]
.... und eine Senkrechte zur Kreistangente am Punkt A einzeichnet, hat diese die Länge d und schneidet den inneren Kreis im Punkt C. Die Schwierigkeit besteht darin, den Winkel alpha zwischen AB und AC zu bestimmen. Wenn das gelingt, hat man die Richtung des Mittelpunktes und ist eigentlich schon fertig.
Die Frage hier wäre: Wie bestimmt man den Winkel alpha?
Einfacher wäre folgendes (ist mir gerade erst eingfallen): Man könnte einen Kreis K1 um A mit Radius r1 ziehen und eine anderen Kreis K2 um B mit r2 und weiss dann, dass einer der Schnittpunkte der Mittelpunkt sein muss.
Die Frage ist also: Wie berechnet man die Schnittpunkte zweier Kreise?
Ich werde mich im Netz umschauen, wie man die Schnittpunkte zweier Kreise berechnet.
Konkret brauche ich also keine Hilfe mehr. Post aber trotzdem die Frage, falls jemand ein ähnliches Problem hat.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:42 Fr 24.07.2009 | | Autor: | tbone |
Ein allgemeiner Weg zur Berechnung der Schnittpunkte zweier Kreise ist z.B. hier zu finden:
http://www.online-tutorials.net/mathematik/kreise-schneiden/sourcecodes-t-104-250.html
Schönen Tag noch.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:42 Fr 24.07.2009 | | Autor: | abakus |
> Ein Kreisring mit den Radien r1 und r2 wird durch eine
> Gerade in den Punkten A,B und A',B' geschnitten. Gegeben
> sind die Radien r1 und r2 sowie die Punkte A und B und A'
> und B' mit Länge AB=A'B'. Wie berechnet sich allgemein
> der Mittelpunkt P des Kreisrings?
> Hallo zusammen,
>
> die Aufgabenstellung kommt aus einer konkreten Anwendung:
> Die Position ringförmiger Bauteile soll bestimmt werden.
> Dazu scannt ein Lasersensor linienförmig über den Rand
> des Ringes (in der Aufgabenstellung Strecke AB bzw. A'B').
> Bekannt sind nur die Punkte A und B sowie der Innenraduis
> r1 und der Außenradius r2.
>
> Lösungsansätze:
> Zunächst: Weil nicht A' und B' aus der Aufgabenstellung
> bekannt sind, ergibt sich, dass es vier Lösungen gibt
> (oder seh ich schon den Wald nicht mehr?).
Hallo,
der Kreismittelpunkt liegt auf der Mittelsenkrechten der Strecke AB. Diese Mittelsenkrechte ist gleichzeitig Mittelsenkrechte von A'B'.
Da der Radius und die Länge AB bekannt sind, entstehen rechtwinklige Dreiecke, in denen man alles weitere berechnen kann. (Der rechte Winkel liegt beim Mittelpunkt von AB).
Gruß Abakus
>
> Die Breite d des Rings ist bekannt (d=r2-r1). Wenn man sich
> das graphisch aufzeichnet ....
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> .... und eine Senkrechte zur Kreistangente am Punkt A
> einzeichnet, hat diese die Länge d und schneidet den
> inneren Kreis im Punkt C. Die Schwierigkeit besteht darin,
> den Winkel alpha zwischen AB und AC zu bestimmen. Wenn das
> gelingt, hat man die Richtung des Mittelpunktes und ist
> eigentlich schon fertig.
> Die Frage hier wäre: Wie bestimmt man den Winkel alpha?
>
> Einfacher wäre folgendes (ist mir gerade erst eingfallen):
> Man könnte einen Kreis K1 um A mit Radius r1 ziehen und
> eine anderen Kreis K2 um B mit r2 und weiss dann, dass
> einer der Schnittpunkte der Mittelpunkt sein muss.
>
> Die Frage ist also: Wie berechnet man die Schnittpunkte
> zweier Kreise?
> Ich werde mich im Netz umschauen, wie man die
> Schnittpunkte zweier Kreise berechnet.
>
> Konkret brauche ich also keine Hilfe mehr. Post aber
> trotzdem die Frage, falls jemand ein ähnliches Problem
> hat.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:55 Fr 24.07.2009 | | Autor: | tbone |
> Hallo,
> der Kreismittelpunkt liegt auf der Mittelsenkrechten der Strecke AB.
Tut mir leid, aber das kann nicht stimmen (siehe Zeichnung im Artikel))
> Diese Mittelsenkrechte ist gleichzeitig Mittelsenkrechte von A'B'.
Ja, das stimmt.
> Da der Radius und die Länge AB bekannt sind, entstehen rechtwinklige
> Dreiecke, in denen man alles weitere berechnen kann. (Der rechte
Das dachte ich auch erst, aber die Mittelsenkrechte hilft hier nicht weiter und für ein rechtwinkliges Dreieck brauche ich zwei bekannte Seiten und ein Winkel. Eine Länge wäre d (r2-r1) aber die andere Länge und der Winkel alpha ... ?
> Winkel liegt beim Mittelpunkt von AB).
> Gruß Abakus
Wie gesagt, habe ich aber schon eine Lösung (siehe Artikel).
Danke trotzdem für die Mühen!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:13 Fr 24.07.2009 | | Autor: | abakus |
> > Hallo,
> > der Kreismittelpunkt liegt auf der Mittelsenkrechten der
> Strecke AB.
>
> Tut mir leid, aber das kann nicht stimmen (siehe Zeichnung
> im Artikel))
JEDER Kreismittelpunkt liegt auf der Mittelsenkrechten einer beliebigen Sehne dieses Kreises.
>
> > Diese Mittelsenkrechte ist gleichzeitig Mittelsenkrechte
> von A'B'.
> Ja, das stimmt.
>
> > Da der Radius und die Länge AB bekannt sind, entstehen
> rechtwinklige
> > Dreiecke, in denen man alles weitere berechnen kann. (Der
> rechte
>
> Das dachte ich auch erst, aber die Mittelsenkrechte hilft
> hier nicht weiter und für ein rechtwinkliges Dreieck
> brauche ich zwei bekannte Seiten und ein Winkel. Eine
> Länge wäre d (r2-r1) aber die andere Länge und der
> Winkel alpha ... ?
>
Ich denke, du hast die Punkte A und B? Damit kennst du auch die Länge AB/2 (das ist eine Kathetenlänge), und du hast den Radius als Hypotenuse. Damit kannst du
- die andre Kathete berechnen (das ist der Abstand des Kreismittelpunkts zum Mittelpunkt von AB)
- über sin, cos oder tan die Innenwinkel des rechtwinkligen Dreiecks berechnen
Gruß Abakus
> > Winkel liegt beim Mittelpunkt von AB).
> > Gruß Abakus
>
>
> Wie gesagt, habe ich aber schon eine Lösung (siehe
> Artikel).
> Danke trotzdem für die Mühen!
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:42 Fr 24.07.2009 | | Autor: | tbone |
> JEDER Kreismittelpunkt liegt auf der Mittelsenkrechten
> einer beliebigen Sehne dieses Kreises.
Ja das stimmt. Aber die Strecke AB ist keine Sehne des Kreises. Eine Sehne wäre BA'. Aber A' aus der Aufgabenstellung ist in meinem Fall ja nicht bekannt sondern nur A und B (siehe Beschreibung in der Frage).
> Ich denke, du hast die Punkte A und B? Damit kennst du
> auch die Länge AB/2 (das ist eine Kathetenlänge), und du
> hast den Radius als Hypotenuse. Damit kannst du
> - die andre Kathete berechnen (das ist der Abstand des
> Kreismittelpunkts zum Mittelpunkt von AB)
> - über sin, cos oder tan die Innenwinkel des
> rechtwinkligen Dreiecks berechnen
Wie gesagt. Hätte ich eine Sehne, wäre alles sehr einfach.
Bekannt ist aber nur die Strecke AB (Punkt A auf dem Aussenradius, Punkt B auf dem Innenradius - wie auf der Zeichnung) und r1 und r2.
> Gruß Abakus
Wie schon gesagt habe ich ja bereits eine Lösung: Kreis um A mit Radius r2 und Kreis um B mit Radius r1. Dann Schnittpunkte der Kreise bestimmen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Fr 24.07.2009 | | Autor: | abakus |
> > JEDER Kreismittelpunkt liegt auf der Mittelsenkrechten
> > einer beliebigen Sehne dieses Kreises.
>
> Ja das stimmt. Aber die Strecke AB ist keine Sehne des
> Kreises. Eine Sehne wäre BA'. Aber A' aus der
> Aufgabenstellung ist in meinem Fall ja nicht bekannt
> sondern nur A und B (siehe Beschreibung in der Frage).
>
> > Ich denke, du hast die Punkte A und B? Damit kennst du
> > auch die Länge AB/2 (das ist eine Kathetenlänge), und du
> > hast den Radius als Hypotenuse. Damit kannst du
> > - die andre Kathete berechnen (das ist der Abstand des
> > Kreismittelpunkts zum Mittelpunkt von AB)
> > - über sin, cos oder tan die Innenwinkel des
> > rechtwinkligen Dreiecks berechnen
>
> Wie gesagt. Hätte ich eine Sehne, wäre alles sehr
> einfach.
> Bekannt ist aber nur die Strecke AB (Punkt A auf dem
> Aussenradius, Punkt B auf dem Innenradius - wie auf der
> Zeichnung) und r1 und r2.
>
> > Gruß Abakus
>
> Wie schon gesagt habe ich ja bereits eine Lösung: Kreis um
> A mit Radius r2 und Kreis um B mit Radius r1. Dann
> Schnittpunkte der Kreise bestimmen.
Ich muss mich entschuldigen. Ich habe nicht genau genug hingesehen und so A und A' vertauscht.
Noch ein Lösungsweg: das Dreieck PBA ist mit 3 bekannten Seitenlängen eindeutig bestimmt, der Winkel Alpha (und ebenso die anderen Innenwinkel dieses Dreiecks) kann aus den drei Seitenlängen mit dem Kosinussatz berechnet werden.
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:47 Fr 24.07.2009 | | Autor: | tbone |
Keine Ursache. Die Aufgabenstellung war wohl etwas verwirrend (ich hätte das mit A' und B' weglassen sollen). Werde nächstes Mal präziser sein.
Vielen Dank für den Lösungsvorschlag! Darauf bin ich nicht gekommen. Der ist natürlich der einfachste.
Danke. Ich werde den versuchen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:50 Fr 24.07.2009 | | Autor: | tbone |
Kleine Korrektur:
Bei der Lösung muss es heissen:
Kreis K1 um A mit Radius r2 und Kreis um B mit Radius r1. (Radien waren vertauscht).
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