Mittelpunkte an Ebenen spiegel < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:51 Do 04.12.2008 | | Autor: | moody |
Hallo,
in einer Aufgabe habe ich 2 Kugeln und eine Schnittebene. Um den Mittelpunkt des Schnittkreises zu bestimmen, habe ich von die Gerade [mm] M_2 [/mm] nach [mm] M_1 [/mm] bestimmt und dann den Schnittpunkt mit der Ebene. Wenn ich nun [mm] M_1 [/mm] an dieser Ebene spiegeln möchte muss ich ja 2 Lambda in der Geradengleichung [mm] \overrightarrow{M_2M_1} [/mm] nehmen.
Meine Frage ist nun ob das so überhaupt richtig ist, weil die Gerade ja von [mm] M_2 [/mm] nach [mm] M_1 [/mm] und ich glaube ich spiegel dann in die falsche Richtung. Muss ich wenn ich M1 spiegeln will die Geradengleichung [mm] \overrightarrow{M_1M_2} [/mm] mit dem Ortsvektor [mm] M_1 [/mm] nehmen?
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Hallo moody,
> Hallo,
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> in einer Aufgabe habe ich 2 Kugeln und eine Schnittebene.
Ist das die Schnittebene, in welcher sich der Schnittkreis befindet oder irgendeine Schnittebene (wenn ja: Schnittebene mit welcher Kugel?) ?
> Um den Mittelpunkt des Schnittkreises zu bestimmen, habe
> ich von die Gerade [mm]M_2[/mm] nach [mm]M_1[/mm] bestimmt und dann den
> Schnittpunkt mit der Ebene. Wenn ich nun [mm]M_1[/mm] an dieser
> Ebene spiegeln möchte muss ich ja 2 Lambda in der
> Geradengleichung [mm]\overrightarrow{M_2M_1}[/mm] nehmen.
Also bist zur Geradengleichung kann ich den Gedankengang nachvollziehen. Wozu willst du nun aber die Mittelpunkte an der Ebene spiegeln? Wenn die Schnittebene die des Schnittkreises ist, dann hast du mit dem Schnittpunkt der Gerade von [mm] M_1 [/mm] nach [mm] M_2 [/mm] im Grunde schon den Mittelpunkt des Schnittkreises ermittelt.
> Meine Frage ist nun ob das so überhaupt richtig ist, weil
> die Gerade ja von [mm]M_2[/mm] nach [mm]M_1[/mm] und ich glaube ich spiegel
> dann in die falsche Richtung. Muss ich wenn ich M1 spiegeln
> will die Geradengleichung [mm]\overrightarrow{M_1M_2}[/mm] mit dem
> Ortsvektor [mm]M_1[/mm] nehmen?
Bitte poste doch bitte noch die genaus Aufgabenstellung. Aus deinen Lösungsansätzen allein können wir nicht wissen, was laut Aufgabenstellung gesucht ist. Ohne nähere Informationen wird eine Hilfestellung leider schwer möglich sein.
Gruß,
Tommy
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:06 Fr 05.12.2008 | | Autor: | moody |
> Ist das die Schnittebene, in welcher sich der Schnittkreis
> befindet
Ja ist sie.
> Wozu willst du nun aber die Mittelpunkte an
> der Ebene spiegeln?
Das ist einfach ein Teil der Aufgabenstellung, die Gleichung der Kugel [mm] K_1 [/mm] zu ermitteln welches sich durch Spiegelung an der Schnittebene ergibt.
Also mein Hauptpunkt ist einfach: Spiegel ich in die verkehrte Richtung? Meine Gerade geht quasi von [mm] M_2 [/mm] nach [mm] M_1 [/mm] und wenn ich das um den Richtungsvektor verlänger also 2 Lambda nehme, geht das dann nicht in die verkehrte Richtung? Muss ich also erst die Gerade von [mm] M_1 [/mm] nach [mm] M_2 [/mm] bestimmen?
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> > Ist das die Schnittebene, in welcher sich der Schnittkreis
> > befindet
> Ja ist sie.
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> > Wozu willst du nun aber die Mittelpunkte an
> > der Ebene spiegeln?
> Das ist einfach ein Teil der Aufgabenstellung, die
> Gleichung der Kugel [mm]K_1[/mm] zu ermitteln welches sich durch
> Spiegelung an der Schnittebene ergibt.
>
> Also mein Hauptpunkt ist einfach: Spiegel ich in die
> verkehrte Richtung? Meine Gerade geht quasi von [mm]M_2[/mm] nach
> [mm]M_1[/mm] und wenn ich das um den Richtungsvektor verlänger also
> 2 Lambda nehme, geht das dann nicht in die verkehrte
> Richtung? Muss ich also erst die Gerade von [mm]M_1[/mm] nach [mm]M_2[/mm]
> bestimmen?
Ok, die Spiegelung eines Punktes (hier: Kugelmittelpunktes) kannst du so machen:
1. Ermittle von der Ebene den Normalenvektor.
2. Stelle dir eine Geradengleichung auf, die vom Mittelpunkt der einen Kugel startet und den Normalenvektor der Ebene als Richtungsvektor hat.
3. Ermittle den Durchstoßpunkt D der Gerade mit der Schnittebene beider Kreise. (Dies ist der Mittelpunkt des Schnittkreises)
4. Bau dir eine weitere Gerade, die auch beim Mittelpunkt des Ausgangskreises startet, aber als Richtungsvektor nimmst du den Vektor von eben diesem Mittelpunkt zum gerade ermittelten Schnittpunkt.
5. Für den Parameter (ich denke du das ist dein Lambda) setzt nun 2 in die bei 4. ermittelte Geradengleichung und schon erhälst du die Koordinaten deines gespiegelten Mittelpunktes.
Das wäre eine Methode. Eine andere Methode wäre noch die Erstellung der Hess'schen Normalform der Schnittebene und dann eine Punktabstandsermittlung. Da ich nicht weiß, wie weit du mit der Hess'schen Normalform vertraut bist, hab ich dir in den 5. Schritten den "umständlichen" Weg beschrieben. 
Gruß,
Tommy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:26 Fr 05.12.2008 | | Autor: | moody |
Vielen dank für deine Antworten. Wir haben das heute in der Schule besprochen, meine Befürchtung war richtig, ich habe [mm] M_2 [/mm] statt [mm] M_1 [/mm] gespiegelt, hätte also die Gerade [mm] M_1 [/mm] + M_1M* nehmen sollen.
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