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Guten Tag
Für eine Funktion $f$, die stetige in einer Umgebung von [mm] $y\in \IR^n$ [/mm] ist, kann ich zeigen, dass
[mm]\lim_{r\to 0}\frac{1}{|B_r(y)|}\int_{B_r(y)}{f(x) dx}=f(y)[/mm]
wobei [mm] $B_r(y)$ [/mm] ein Ball mit Radius $r$ um $y$ bezeichnet. Gilt diese Aussage auch wenn ich den Ball durch [mm] $\partial B_r(y)$ [/mm] ersetze?
Herzlichen Dank für die Hilfe
Liebe Grüsse
Marianne88
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:50 So 04.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Guten Tag
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> Für eine Funktion [mm]f[/mm], die stetige in einer Umgebung von
> [mm]y\in \IR^n[/mm] ist, kann ich zeigen, dass
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> [mm]\lim_{r\to 0}\frac{1}{|B_r(y)|}\int_{B_r(y)}{f(x) dx}=f(y)[/mm]
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> wobei [mm]B_r(y)[/mm] ein Ball mit Radius [mm]r[/mm] um [mm]y[/mm] bezeichnet. Gilt
> diese Aussage auch wenn ich den Ball durch [mm]\partial B_r(y)[/mm]
> ersetze?
>
Nein,, denn es ist [mm] |\partial B_r(y)|=0 [/mm] und
[mm] \int_{\partial B_r(y)}{f(x) dx}=0
[/mm]
FRED
> Herzlichen Dank für die Hilfe
>
> Liebe Grüsse
>
> Marianne88
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:07 So 04.03.2012 | | Autor: | marianne88 |
Guten Tag fred,
Herzlichen Dank für die schnelle Antwort. Leider verstehe ich somit einen Beweis in "Evans- Partial Differential Equation" nicht. Wir machen gerade einen Exkurs zur Laplace-Gleichung / harmonische Funktionen etc. Auf Seite 25 in Evans steht:
Wenn [mm] $u\in C^2(U)$ [/mm] harmonisch ist, dann gilt:
[mm] u(x)=\frac{1}{|\partial B_r(x)|}\int_{\partial B_r(x)}{u(y) dS(y)}=\frac{1}{|B_r(x)|}\int_{B_r(x)}{u(y) dy} [/mm]
Die Aussage über das Integral des ganzen Balles, gilt doch bereits, wenn $u$ stetig ist?
Im Beweis der ersten Gleichung definiert Evans:
[mm]\phi(r) := \frac{1}{|\partial B_r(x)|}\int_{\partial B_r(x)}{u(y) dS(y)}=\frac{1}{|\partial B_1(0)|}\int_{\partial B_1(0)}{u(x+rz) dS(z)} [/mm]
Dann behauptet er:
[mm]\phi(r)' =\frac{1}{|\partial B_1(0)|}\int_{\partial B_1(0)}{\grad u(x+rz)\dot z dS(z)} [/mm]
Wieso darf ich hier Integral und Ableitung einfach vertauschen?
Dann zeigt er, dass [mm] $\phi(r)' [/mm] = 0$ also [mm] $\phi$ [/mm] konstant ist und schliesst:
[mm]\phi(r) = \lim_{t\to 0}\phi(t) =\lim_{t_\to 0}\frac{1}{|\partial B_t(x)|}\int_{\partial B_t(x)}{u(y) dy} = u(y)[/mm]
Die erste Gleichung gilt, da [mm] $\phi [/mm] $ konstant ist. Wieso gilt aber dann die letzte Gleichung?
Danke für deine Hilfe
Liebe Grüsse
marianne88
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:11 Mo 05.03.2012 | | Autor: | marianne88 |
Guten Tag
Bitte entschuldigt, ich habe soeben bemerkt, dass ich im Code [mm] \inf [/mm] anstatt [mm] \int [/mm] geschrieben habe. Nun sollte es korrekt sein.
Liebe Grüsse
marianne88
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