Mittelwert Formeln Wann Welche < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich bin etwas durcheinander gekommen und hoffe ihr koennt mir weiterhelfen.
Es geht um Mittelwerte und Varianz.
Fuer den Mittelwerte einer Stichprobe gibt es ja die Formel :
x(oberstrich ) = 1/n * [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] xi
und dann die Formel bei diskreten Zufallsvariablen x
[mm] \mu [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] x * p(x)
und ich habe eine Kombination aus beiden gesehen : (bei bekannten haeufigkeiten der messwerte)
x (oberstrich) =1/n* [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] x * p(x)
das selbe bei der varianz... einmal mit 1/(n-1) und einmal nicht einmal mit *p(x) und dann wieder nicht....
ich bin jetzt aber total durcheinander... ich weiss nicht mehr wann man welche formel zur berechnung der mittelwerte nehmen muss.... ich kann es nicht mehr aus der aufgabe entnehmen.
habt ihr einen tipp ? oder koennt mir bitte den unterschied erlaeutern ?
( die formeln sind nicht 100 % richtig , aber ich hoffe ich versteht wie ich das meine)
danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Fuer den Mittelwert einer Stichprobe gibt es ja die Formel:
>
> x(oberstrich ) = 1/n * [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm] xi
zuerst mal: den Oberstrich erhältst du mit: \overline{x}
Diese Formel ist richtig, wenn alle n Stichprobenwerte
mit dem gleichen Gewicht (also 1/n) gerechnet werden.
> und dann die Formel bei diskreten Zufallsvariablen x
>
> [mm]\mu[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm] x * p(x)
Das sollte eigentlich heissen:
[mm] $\mu=\summe_{i=1}^{n} x_i [/mm] * [mm] p_i\ [/mm] =\ [mm] \summe_{i=1}^{n} x_i [/mm] * [mm] P(x=x_i)$
[/mm]
> und ich habe eine Kombination aus beiden gesehen : (bei
> bekannten haeufigkeiten der messwerte)
> x (oberstrich) =1/n* [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm] x * p(x)
Das ist wohl einfach falsch !
> das selbe bei der varianz... einmal mit 1/(n-1) und einmal
> nicht einmal mit *p(x) und dann wieder nicht....
Bei der Varianz muss man zwei Fälle auseinanderhalten:
Erster Fall:
Berechnung der Varianz einer bekannten Verteilung
Sind die Wahrscheinlichkeiten [mm] p_i [/mm] der einzelnen
möglichen Werte [mm] x_i [/mm] der diskreten Zufallsvariablen X
bekannt, so ist
[mm] Var(X)=\summe_{i=1}^{n}p_i*(x_i-\overline{X})^2
[/mm]
Bei Gleichverteilung auf die n möglichen Werte ergibt
sich daraus die Formel:
[mm] Var(X)=\bruch{1}{n}*\summe_{i=1}^{n}(x_i-\overline{X})^2
[/mm]
Zweiter Fall:
Schätzung der Varianz einer unbekannten Verteilung
Gemessene Werte: [mm] x_1, x_2, x_3, [/mm] ....... , [mm] x_n [/mm] (alle
mit dem gleichen Gewicht; treten einzelne Zahlenwerte
mehrfach auf, werden sie auch separat gezählt).
Der geschätzte Mittelwert ist dann [mm] \tilde{X}=\bruch{1}{n}*\summe_{i=1}^{n}x_i
[/mm]
Die geschätzte Varianz ist [mm] \tilde{Var}(X)=\bruch{1}{n-1}*\summe_{i=1}^{n}(x_i-\tilde{X})^2 [/mm]
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| Aufgabe | Eine Gartenflaeche wird in 100 Quadrate gleicher Groesse unterteilt. Anschliessend werden die Anzahl Schnecken fuer jedes Quadrat gezaehlt. Dabei kam es zu folgendem Erfebniss :
Anzahl r der Schnecken : 0 / 1 / 2 / 3
Haeufigkeit von r : 69 / 18 / 7 / 2 usw... |
Ich muss nochmals nachfragen.
Weil in der oben stehenden Aufgabe geht die Rechnung fuer den Mittelwert so :
[mm] \overline{x} [/mm] = [mm] \bruch{69*0 + 18*1 + 7*2 + 2*3 ..... usw }{100}
[/mm]
hier wird ja irgend wie eine kombination aus beiden formeln verwendet ????
sowohl mit 1/n multilpiziert sowohl die Anzahl r der Schnecken * die Haeufigkeit .
wohingegen man in diesem Bsp :
Gegeben seien die folgenden Wertpaare einer unabhaengigen Variablen x und einer abhaengigen Variaben y fuer eine Stichprobe der Groesse n=4.
x-Werte : 1 / 2 /3 /4
y-Werte : 1/2/4/5
Mittelwert :
[mm] \overline{x} [/mm] von x = [mm] \bruch{1}{4} [/mm] * (1+2+3+4)
also hier nehme ich ja die Formel fuer Stichprobenmittelwerte....
wieso ist das so ? woher weiss ich denn wann ich welche formel nehme ? , ganz einfach?
danke
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> Eine Gartenflaeche wird in 100 Quadrate gleicher Groesse
> unterteilt. Anschliessend werden die Anzahl Schnecken fuer
> jedes Quadrat gezaehlt. Dabei kam es zu folgendem Erfebniss
> :
>
> Anzahl r der Schnecken : 0 / 1 / 2 / 3
>
> Haeufigkeit von r : 69 / 18 / 7 / 2 usw...
> Ich muss nochmals nachfragen.
>
> Weil in der oben stehenden Aufgabe geht die Rechnung fuer
> den Mittelwert so :
>
>
> [mm]\overline{x}[/mm] = [mm]\bruch{69*0 + 18*1 + 7*2 + 2*3 ..... usw }{100}[/mm]
>
> hier wird ja irgend wie eine kombination aus beiden formeln
> verwendet ????
>
> sowohl mit 1/n multilpiziert sowohl die Anzahl r der
> Schnecken * die Haeufigkeit .
Du musst nur beachten, dass die absolute Häufigkeit
nicht dasselbe ist wie die relative. Im Beispiel:
Die Anzahl der Felder mit genau einer Schnecke
ist 18; die relative Häufigkeit ist [mm] \bruch{18}{100}=0.18. [/mm]
Die Division durch 100 kann man entweder bei
den einzelnen Summanden oder aber einmal
(nach der Summenbildung) vornehmen.
> wohingegen man in diesem Bsp :
>
> Gegeben seien die folgenden Wertpaare einer unabhaengigen
> Variablen x und einer abhaengigen Variaben y fuer eine
> Stichprobe der Groesse n=4.
>
> x-Werte : 1 / 2 /3 /4
> y-Werte : 1/2/4/5
>
>
> Mittelwert :
> [mm]\overline{x}[/mm] von x = [mm]\bruch{1}{4}[/mm] * (1+2+3+4)
>
> also hier nehme ich ja die Formel fuer
> Stichprobenmittelwerte....
Hier kommt jeder der vier x-Werte genau einmal
vor. Wenn du willst, kannst du die Berechnung
des Mittelwerts genau analog wie oben schreiben:
[mm]\overline{x}[/mm] = [mm]\bruch{1*1+1*2+1*3+1*4}{4}[/mm]
> wieso ist das so ? woher weiss ich denn wann ich welche
> formel nehme ? , ganz einfach?
Mach dir nur klar, dass es eigentlich doch nur
eine Formel ist, die man in dieser einheitlichen
Form schreiben kann:
[mm]\overline{x}[/mm] = [mm]\bruch{\summe_{i=1}^{n}g_i*x_i}{\summe_{i=1}^{n}g_i}[/mm]
Dabei können die "Gewichtsfaktoren" [mm] g_i [/mm] entweder
ganze Zahlen oder Wahrscheinlichkeiten (bzw.
relative Häufigkeiten) sein. Im ersten Fall ist die
Summe im Nenner gleich der Gesamtzahl n der
Stichproben, im zweiten Fall ist diese Summe Eins.
Schönen Sonntag !  Al-Chw.
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