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| Aufgabe | Bestimmen Sie den Mittelwert der Funktionswerte von f(x) =3sin(2x) über [mm] [0;(\pi/2)].
[/mm]
Geben Sie eine Stelle [mm] x_{0} [/mm] für die Funktion f an, deren Funktionswert gerade der Mittelwert ist.
Ist diese Stelle eindeutig bestimmt? |
Hallo erstmal,
Mit der Aufgabe an sich habe ich nur bei der letzten Fragestellung ein Problem.
[mm] f(x_{0}) [/mm] = f(x)
[mm] 6/\pi [/mm] = 3 * sin(2x) / :3
[mm] 2/\pi [/mm] = sin(2x) / arc sin
2x = arc sin (0,63)
2x= 0,69 / :2
x = 0,35
Man kommt auf x = 0,35
Setzt man x in f(x) ein, kommt man auf den Funktionswert 1,91.
Zeichnet man die Funktion, ist erkennbar, das 2 Punkte zutreffen.
[mm] P_{1}=(0,35 [/mm] ; 1,91) und noch ein Zweiter.
Aber wie bestimme ich den.
Selbst wenn ich diese 1,91 als g(x) gelten lasse, also g(x)=1,91 , und setze dies mit f(x) gleich,
f(x) = g(x)
3sin(2x) = 1,91 / :3
sin(2x) = 0,64 / arc sin
2x = 0,7 / :2
x = 0,35
so erhalte ich dennoch nur x = 0,35
Wie komme ich auf den zweiten Punkt?
Was mir einfallen würde, ist das Newtonverfahren bzw. das Intervallhalbierungsverfahren, aber das geht doch mit Sicherheit noch um einiges schneller!? Aber wie?
Bitte helft mir.
Vielen Dank im Voraus
Matze
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:01 Di 20.04.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo AMDFreak!
Bedenke, dass gilt:
[mm] $$\sin\left(\bruch{\pi}{2}+z\right) [/mm] \ = \ [mm] \sin\left(\bruch{\pi}{2}-z\right)$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Ok, und wo muss ich diese Gleichung anwenden?
beim mir steht ja sin (2x) = [mm] \bruch{2}{\pi}
[/mm]
mfg
Matze
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:40 Mi 21.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
der arcsin liefert immer nur einen Wert. Um die anderen zu finden, muss man eben die Eigenschaften von sin kennen, die du durch ne Zeichnung der fkt leicht sehen kannst. (und dir Loddar mitgeteilt hat)
d.h. also sinx=a folgt x1=arcsina x2= [mm] \pi-arcsina, [/mm] weitere Werte i.a. [mm] x1+n*2\pi [/mm] und [mm] x2+n*2\p [/mm] (die aber nicht in dem Intervall liegen.)
Der Rest deiner Rechnung ist richtig.
Gruss leduart
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ok, in meinem fall war es dann ja logischerweise
[mm] 2x_{2} [/mm] = [mm] \pi [/mm] - [mm] 2x_{1} [/mm] /:2
[mm] x_{2} [/mm] = [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] - [mm] x_{1}
[/mm]
[mm] x_{2} [/mm] = 1,22
Viele Dank an alle!
Matze
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:16 Di 20.04.2010 | | Autor: | abakus |
> Bestimmen Sie den Mittelwert der Funktionswerte von f(x)
> =3sin(2x) über [mm][0;(\pi/2)].[/mm]
> Geben Sie eine Stelle [mm]x_{0}[/mm] für die Funktion f an, deren
> Funktionswert gerade der Mittelwert ist.
>
> Ist diese Stelle eindeutig bestimmt?
> Hallo erstmal,
>
> Mit der Aufgabe an sich habe ich nur bei der letzten
> Fragestellung ein Problem.
>
> [mm]f(x_{0})[/mm] = f(x)
>
> [mm]6/\pi[/mm] = 3 * sin(2x) / :3
> [mm]2/\pi[/mm] = sin(2x) / arc sin
> 2x = arc sin (0,63)
> 2x= 0,69 / :2
> x = 0,35
Hallo,
wie kommst du auf diesen Ansatz?
Die beschriebene Funktion entspricht einer "Halbwelle". Am Rand sind Nullstellen, in der Mitte ist der höchste Wert.
Den Mittelwert aller Funktionswerte erhältst du, wenn du die Halbwelle durch ein Rechteck gleicher Breite ersetzt, dass den selben Flächeninhalt hat wie die Fläche zwischen x-Achse und deiner Sinusfunktion.
Höhe dieses Rechtecks = Mittelwert deiner Funktionswerte
Gruß Abakus
>
> Man kommt auf x = 0,35
>
> Setzt man x in f(x) ein, kommt man auf den Funktionswert
> 1,91.
>
> Zeichnet man die Funktion, ist erkennbar, das 2 Punkte
> zutreffen.
>
> [mm]P_{1}=(0,35[/mm] ; 1,91) und noch ein Zweiter.
>
> Aber wie bestimme ich den.
>
> Selbst wenn ich diese 1,91 als g(x) gelten lasse, also
> g(x)=1,91 , und setze dies mit f(x) gleich,
>
> f(x) = g(x)
> 3sin(2x) = 1,91 / :3
> sin(2x) = 0,64 / arc sin
> 2x = 0,7 / :2
> x = 0,35
>
> so erhalte ich dennoch nur x = 0,35
>
> Wie komme ich auf den zweiten Punkt?
>
> Was mir einfallen würde, ist das Newtonverfahren bzw. das
> Intervallhalbierungsverfahren, aber das geht doch mit
> Sicherheit noch um einiges schneller!? Aber wie?
>
> Bitte helft mir.
>
> Vielen Dank im Voraus
>
> Matze
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Zwecks Ansatz:
Bestimmt man das bestimmte Integral von f(x) in den Grenzen 0 bis [mm] \bruch{\pi}{2}, [/mm] so erhält man als Ergebnis 3 [FE].
Den Ansatz selbst habe ich aus dem Internet. Dort stand eben, dass man, wenn man von [mm] f(x_{0}) [/mm] den x-wert haben möchte, einfach [mm] f(x_{0})=f(x) [/mm] setzt, in diesem Beispiel also
[mm] \bruch{6}{\pi}=3sin(2x)
[/mm]
dass [mm] f(x_{0}) [/mm] richtig ist, weiß ich auf jeden Fall, da die Probe 3 ergibt (bestimmtes Integral ergibt ebenfalls 3).
Ist der Ansatz etwa falsch?? Der Punkt (0,35;1,91) liegt jedenfalls auf der Kurve.
mfg
Matze
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