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Mittelwertsatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:48 Sa 19.01.2008
Autor: Zerwas

Aufgabe
Es sei: f: [mm] \IR\rightarrow\IR [/mm] stetig differenzierbar und [mm] f'(c)\ge [/mm] 0 für alle [mm] x\in\IR. [/mm] Beweisen sie, dass f monoton wachsend ist.

Es ist also zz., dass [mm] f(a)\le [/mm] f(b) für [mm] a\le [/mm] b
ich habe an den Hauptsatz der Differential- und Integralerchnung gedacht aber komme iwie auf keinen Ansatz.
f ist die Stammfkt zu f'.
Wenn f monoton wächst bedeutet das, dass [mm] \integral_{a}^{b}{f'(x) dx} [/mm] = F(b)-F(a) [mm] \ge [/mm] 0 für [mm] a\ge [/mm] b und [mm] a,b\ge [/mm] 0 (für kleiner enstprechend umgekehrt)

Aber wie jetzt weiter?
Wie kann ich hier die Aussage, dass [mm] f'(x)\ge [/mm] 0 ist einfließen lassen?

Über einen Anstoss wäre ich sehr dankbar.

Gruß Zerwas

        
Bezug
Mittelwertsatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:04 Sa 19.01.2008
Autor: angela.h.b.

Hallo,

findest Du die Überschrift für Deine Aufgabe nicht auch sehr, sehr seltsam? Fundamentalsatz der Algebra...

In Deiner Aufgabe soll es gewiß heißen: f'(x) [mm] \ge [/mm] 0.

Zu Deinem Beweis: da machst Du ja ein ziemliches Gewese. Integral und Stammfunktion?

Da traut man sich ja kaum weiterzulesen...

Ich sag mal so: back to the roots.

Versuch's dies:

nimm an, es wäre die Ableitung überall [mm] \ge [/mm] 0,

und die Funktion wäre nicht wachsend.

Dann findest Du a,b mit ...

Dann den Mittelwertsatz.

Gruß v. Angela

Bezug
                
Bezug
Mittelwertsatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:48 Sa 19.01.2008
Autor: Zerwas

AAAHhhh :-[ ... da habe ich absolut nicht dran gedacht

Okay dann ist es einfach:

Angenommen [mm] f'(x)\ge [/mm] 0 [mm] \forall [/mm] x in [mm] \IR [/mm] und f(x) wäre nicht monoton wachsend, dann fänden sich [mm] a,b\in\IR [/mm] mit a < b und f(a)>f(b)
Dann würde mit dem MIttelwertsatz der Differentialrechnung gelten:
[mm] \exists x_0\in(a,b) [/mm] mit [mm] f'(x_0)=\bruch{f(b)-f(a)}{b-a}, [/mm] und somit [mm] f'(x_0)<0 [/mm] was ein Widerspruch wäre. (da f(b)-f(a) < 0 und b-a > 0)
Daher muss f(x) monoton wachsend sein.

Danke :)

So passt das dann oder?

Gruß Zerwas

Bezug
                        
Bezug
Mittelwertsatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:59 Sa 19.01.2008
Autor: angela.h.b.

Ja, so paßt's.

Und weil ich Dir so einen tollen Tip gegeben habe, erlaube ich mir jetzt, die Überschrift auch passend zu machen ---

obgleich  mir gerade in diesem Moment aufgeht, warum Du sie gewählt hast.

Gruß v. Angela



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