Mittelwertsatz < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Bestimmen Sie mit Hilfe des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung den Grenzwert
[mm] \lim_{x \to \infty}(\sin(\wurzel(x+1)) [/mm] - [mm] \sin(\wurzel(x)))
[/mm]
|
Der Mittelwertsatz heißt folgendermaßen:
Es existiert ein [mm] x_0\in [/mm] ]a, b[ : [mm] f'(x_0) [/mm] = [mm] \left \bruch{f(b) - f(a)}{b - a} \right
[/mm]
Da nun kein Intervall ]a,b[ in der Aufgabenstellung angegeben ist, habe ich mir überlegt was für ein Intervall in Frage kommt. Was ich ausschließen kann sind komplexe Zahlen. Es geht in der Aufgabe definitiv nur um [mm] \IR.
[/mm]
Somit bin ich zu dem Schluss gekommen, dass mein Intervall ]0, [mm] \infty[ [/mm] sein muss.
Nun meine Frage: Wie soll ich damit weiterrechnen?
Vielen Dank für eure Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:07 Sa 07.06.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Bestimmen Sie mit Hilfe des Mittelwertsatzes der
> Differentialrechnung den Grenzwert
> [mm]\lim_{x \to \infty}(\sin(\wurzel(x+1))[/mm] -
> [mm]\sin(\wurzel(x)))[/mm]
>
> Der Mittelwertsatz heißt folgendermaßen:
>
> Es existiert ein [mm]x_0\in[/mm] ]a, b[ : [mm]f'(x_0)[/mm] = [mm]\left \bruch{f(b) - f(a)}{b - a} \right[/mm]
>
> Da nun kein Intervall ]a,b[ in der Aufgabenstellung
> angegeben ist, habe ich mir überlegt was für ein Intervall
> in Frage kommt. Was ich ausschließen kann sind komplexe
> Zahlen. Es geht in der Aufgabe definitiv nur um [mm]\IR.[/mm]
>
> Somit bin ich zu dem Schluss gekommen, dass mein Intervall
> ]0, [mm]\infty[[/mm] sein muss.
> Nun meine Frage: Wie soll ich damit weiterrechnen?
> Vielen Dank für eure Hilfe!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Betrachte dein f auf dem Intervall (x,x+1) und wende darauf den MWS an. Dann lass das x gegen unendlich laufen.
Es muss 0 als Grenzwert rauskommen (sagt mir zumindest ein kurzer Blick auf den Graphen ^^).
|
|
|
| |
|
Danke für die Antwort Merle =)
Ok, ich hab das jetzt mal so eingesetzt wie ich denke das es funktioniert.
Scheint mir allerdings nicht gegen 0 zu konvergieren...=(
[mm] \bruch{\sin(\wurzel{(x+1)+1}) - \sin(\wurzel{(x+1)}) - \sin(\wurzel{(x+1)})-\sin(\wurzel{x})}{(x+1)-x}
[/mm]
Also wenn ich da x gegen [mm] \infty [/mm] laufen lasse geht das doch nicht gegen 0?
|
|
|
| |
|
Hallo Dominikus,
das war genau andersherum gemeint.
Nehme dein
[mm]sin\sqrt{x+1} - sin\sqrt{x} = \frac{sin\sqrt{x+1} - sin\sqrt{x}}{1} = \frac{sin\sqrt{x+1} - sin\sqrt{x}}{(x+1) - x} [/mm]
als [mm]\frac{f(b)-f(a)}{b-a}[/mm] mit b=x+1 und a=x.
Was sagt dir dann der Mittelwertsatz auf ]x,x+1[ ?
MfG,
Gono.
|
|
|
| |
|
Ähm, jetzt steh ich glaube ich ordentlich auf dem schlauch
Genau das habe ich doch gemacht. Wenn ich das einsetze komme ich wieder auf das Ergebnis was ich in meinem letzten Post geschrieben habe.
Du meinst doch nicht etwa dass ich für f(a) = x und f(b) = x+1 einsetzen soll?!?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:13 Sa 07.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ähm, jetzt steh ich glaube ich ordentlich auf dem schlauch
> Genau das habe ich doch gemacht. Wenn ich das einsetze
> komme ich wieder auf das Ergebnis was ich in meinem letzten
> Post geschrieben habe.
> Du meinst doch nicht etwa dass ich für f(a) = x und f(b) =
> x+1 einsetzen soll?!?
Nein, du sollst [mm] $f(x)=\sin\sqrt{x}$ [/mm] einsetzen.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:21 So 08.06.2008 | | Autor: | Tobus |
aber f(b)-f(a) ist doch nicht das selbe wie das was weiter oben geschrieben wurde ? warum darf man das ersetzen ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:02 Mo 09.06.2008 | | Autor: | Merle23 |
[mm] \lim_{x \to \infty}(\sin(\wurzel{x+1})-\sin(\wurzel{x}))=\lim_{x \to \infty}\bruch{\sin(\wurzel{x+1})-\sin(\wurzel{x})}{(x+1)-x} [/mm] und jetzt den MWS anwenden auf die Funktion [mm] f(x)=sin(\wurzel{x}) [/mm] im Intervall [x,x+1].
|
|
|
|
