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Hallo. Ich habe leider so meine kleinen Probleme mit dem Mittelwertsatz. Ich soll z.B. zeigen, dass [mm] \wurzel{1+x}\le1+\bruch{x}{2}, [/mm] für alle [mm] x\ge0.
[/mm]
Definition des Mittelwertsatzes: Sei f eine in [a,b]stetige und in ]a,b[ diff'bare Funktion. Dann gibt es in ]a,b[ mindestens eine Stelle [mm] x_0 [/mm] für die gilt: [mm] f'(x_0)=\bruch{f(b)-f(a)}{b-a}
[/mm]
Ich weiß leider nicht, wie ich das jetzt genau auf mein Beispiel anwenden soll.
Wäre für jede Hilfe dankbar. MFG domenigge135
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:02 Do 19.06.2008 | | Autor: | djmatey |
Hallo,
ich würde Dir folgende Variante ohne Mittelwertsatz vorschlagen:
Für x = 0 lautet die Ungleichung 1 [mm] \le [/mm] 1,
was offensichtlich erfüllt ist.
Für x > 1 ist [mm] \wurzel{x} [/mm] > 1, also ist [mm] \wurzel{x+1} [/mm] > 1 für x > 0.
[mm] \wurzel{x+1} [/mm] > 1
[mm] \gdw \bruch{1}{\wurzel{x+1}} [/mm] < 1
[mm] \gdw \bruch{1}{2\wurzel{x+1}} [/mm] < [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Da hier auf der linken Seite die Steigung (Ableitung) von [mm] \wurzel{1+x} [/mm] steht, auf der rechten Seite die Steigung (Ableitung) von [mm] 1+\bruch{x}{2}, [/mm] steigt [mm] \wurzel{1+x} [/mm] für alle x>0 weniger stark als [mm] 1+\bruch{x}{2}.
[/mm]
Insgesamt ist die Ungleichung also für x = 0 erfüllt, danach (für x >0) steigt die Funktion auf der rechten Seite stärker, und damit hast Du's.
Falls Du nicht unbedingt den Mittelwertsatz benutzen musst, ist das eine Möglichkeit.
LG djmatey =)
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Ja wir sollen das leider schon anhand der Definition vom Mittelwertsatz machen. Obwohl deine Variante finde ich besser ist 
MFG domenigge135
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:09 Do 19.06.2008 | | Autor: | djmatey |
Hach schade =)
Dann muss ich nochmal meine grauen Zellen bemühen... 
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Alles klar ich habe was im Internet dazu gefunden. Selbe Aufgabe, folgender Lösungsweg, mit dem ich nichts anfangen kann :-(
Wähle [mm] f(x)=\wurzel{1+x}
[/mm]
[mm] f'(x_0)=\bruch{f(b)-f(a)}{b-a}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2\wurzel{1+x}}=\bruch{\wurzel{1+b}-\wurzel{1+a}}{b-a}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2\wurzel{1+x_0}}=\bruch{\wurzel{1+x}-\wurzel{1}}{x}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2\wurzel{1}}\ge\bruch{\wurzel{1+x}-1}{x} [/mm] , [mm] x\ge0
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}\ge\bruch{\wurzel{1+x}-1}{x} [/mm] , [mm] x\ge0
[/mm]
[mm] \bruch{x}{2}\ge\wurzel{1+x}-1 [/mm] , [mm] x\ge0
[/mm]
Weiß nichts so richtig damit anzufangen. ABer vielleicht kapierst du es ja!!! Wäre jedenfalls nicht schlecht.
MFG domenigge135
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:54 Do 19.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Alles klar ich habe was im Internet dazu gefunden. Selbe
> Aufgabe, folgender Lösungsweg, mit dem ich nichts anfangen
> kann :-(
>
> Wähle [mm]f(x)=\wurzel{1+x}[/mm]
> [mm]f'(x_0)=\bruch{f(b)-f(a)}{b-a}[/mm]
Das ist der MWS wenn du dazuschreibst es existiert ein x_= aus (a,b)
>
> [mm]\bruch{1}{2\wurzel{1+x}}=\bruch{\wurzel{1+b}-\wurzel{1+a}}{b-a}[/mm]
hier wurde statt [mm] x_0 [/mm] x geschrieben
>
> [mm]\bruch{1}{2\wurzel{1+x_0}}=\bruch{\wurzel{1+x}-\wurzel{1}}{x}[/mm]
hier wurde a=0, b=x gewählt
> [mm]\bruch{1}{2\wurzel{1}}\ge\bruch{\wurzel{1+x}-1}{x}[/mm] ,
hier wurde verwendet dass [mm] 1+x_0>1 [/mm] für alle [mm] x_0 [/mm] aus (0,x)
und damit [mm] 1/\wurzel{1+x_0}<1 [/mm] für [mm] x\ge0[/mm]
[/mm]
Der Rest ist umformeln!
> [mm]\bruch{1}{2}\ge\bruch{\wurzel{1+x}-1}{x}[/mm] , [mm]x\ge0[/mm]
> [mm]\bruch{x}{2}\ge\wurzel{1+x}-1[/mm] , [mm]x\ge0[/mm]
Man sollte immer damit anfangen den MWS für das Problem erst mal hinzuschreiben, wenn man schon weiss, dass es richtig ist:
Jetz tu mal was selbst und zeige [mm] :\bruch{1}{1+x}\ge [/mm] 1-x für [mm] x\ge0
[/mm]
Dann hast du wenigstens was gelernt.
Gruss leduart
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Okay dann habe ich vorher aber noch eine kleine Frage.
Woher weiß ich denn, wie jetzt auch in dem Beispiel von ebend, was ich überhaupt wähle??? Warum wähle ich [mm] f(x)=\wurzel{1+x}
[/mm]
MFG domenigge135
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:22 Do 19.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
DU hast das doch gar nicht gewählt, sondern dein Prof.!
Und zweitens braucht man eben oft ne Abschätzung für ne Wurzel!
Jetzt weisst du z. Bsp, dass [mm] \wurzel{101}<10+1/20 [/mm] ist!
eigentlich hast du gezeigt, dass die fkt unter ihrer Tangente bei 1 liegt.
Es ist oft nützlich, Ne lineare Abschätzung für kompliziertere Fkt zu haben!
z.Bsp [mm] sinx\le [/mm] x für [mm] x\ge [/mm] 0 usw.
Ausserdem hat dir fred gesagt, dass du auch ne andere fkt, die Differenz, für den Beweis benutzen kannst!
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:22 Do 19.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Definiere f(x):= 1+x/2-wurzel(1+x) für x größergleich 0. Es ist f(0) = 0, d.h. die Ungleichung ist für x=0 richtig.
Weise dann nach, das f' immer größer 0 ist.
Für x größer 0 gibt es nach dem Mittelwertsatz ein t zwische 0 und x mit
f(x) = f(x)-f(0) = (x-0)f'(t) = xf'(t) > 0. Das beweist die Ungleichung.
FRED
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