Mittelwertsatz < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:46 Mi 28.04.2010 | | Autor: | StefanK. |
Hallo Leute,
wir haben in der Vorlesung gehört, dass im [mm] \IR^{n} [/mm] anders als im eindimensionalem Körper der Mittelwertsatz nicht anwendbar ist, es jedoch eine Mittelwertabschätzung gibt. Nun hatten wir eine Übungsaufgabe, in der wir aber im [mm] \IR^{2} [/mm] den Mittelwertsatz benutzt haben - allerdings ging es hier um sinus und cosinus. Heißt das also, dass für die trigonometrischen Funktionen der Mittelwertsatz immer (bzw. eben im [mm] \IR^{n}) [/mm] gilt?
Viele Grüße
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:17 Mi 28.04.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Leute,
> wir haben in der Vorlesung gehört, dass im [mm]\IR^{n}[/mm] anders
> als im eindimensionalem Körper der Mittelwertsatz nicht
> anwendbar ist, es jedoch eine Mittelwertabschätzung gibt.
> Nun hatten wir eine Übungsaufgabe, in der wir aber im
> [mm]\IR^{2}[/mm] den Mittelwertsatz benutzt haben - allerdings ging
> es hier um sinus und cosinus. Heißt das also, dass für
> die trigonometrischen Funktionen der Mittelwertsatz immer
> (bzw. eben im [mm]\IR^{n})[/mm] gilt?
Nein. Beispiel: $f(t) = (cos(t),sin(t))$ für $t [mm] \in [/mm] [0,2 [mm] \pi]$
[/mm]
Es ist $0= f(2 [mm] \pi)-f(0)$
[/mm]
Würde nun der Mittelwertsatz gelten, so gäbe es in [0,2 [mm] \pi] [/mm] einen Punkt [mm] \xi [/mm] mit
$0= [mm] f'(\xi)= (-sin(\xi), cos(\xi))$
[/mm]
Dann hätten die Funktionen Sinus und Cosinus eine gemeinsame Nullstelle. Kann das sein ?
FRED
>
> Viele Grüße
> Stefan
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