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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:31 Fr 17.06.2005 | | Autor: | bobby |
Hallo!
Vielleicht kann mir jemand bei meiner Aufgabe helfen...
Ich soll einen Beweis oder ein Gegenbeispiel für diese Version des Mittelwertsatzes angeben:
Für differenzierbares [mm] f:U\to\IR^{m} [/mm] auf offenem und konvexem [mm] U\subset\IR^{n} [/mm] und [mm] m\ge2 [/mm] gibt es zu [mm] x,y\inU [/mm] ein [mm] \varepsilon\in[x,y], [/mm] so dass gilt [mm] f(x)-f(y)=Df(\varepsilon)(x-y).
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:05 Sa 18.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Bobby!
> Ich soll einen Beweis oder ein Gegenbeispiel für diese
> Version des Mittelwertsatzes angeben:
> Für differenzierbares [mm]f:U\to\IR^{m}[/mm] auf offenem und
> konvexem [mm]U\subset\IR^{n}[/mm] und [mm]m\ge2[/mm] gibt es zu [mm]x,y\inU[/mm] ein
> [mm]\varepsilon\in[x,y],[/mm] so dass gilt
> [mm]f(x)-f(y)=Df(\varepsilon)(x-y).[/mm]
Betrachte die Situation $n=1$, $m=2$, [mm] $U=\IR$ [/mm] und die Funktion
$f(t)= [mm] \pmat{ \cos(t) \\ \sin(t)}$.
[/mm]
Zeige, dass es für $x=0$ und [mm] $y=2\pi$ [/mm] kein [mm] $\varepsilon \in [0,2\pi]$ [/mm] gibt mir
[mm]f(x)-f(y)=Df(\varepsilon)(x-y).[/mm]
Versuche es bitte selber einmal und melde dich mit einem Lösungsvorschlag wieder.
Viele Grüße
Stefan
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Na ja, setze links ein, dann steht da 0.
Die Ableitung von f wäre
[mm] f=\vektor{-sin(\varepsilon) \\ cos(\varepsilon) }.
[/mm]
Dann steht da
[mm] 0=\vektor{-sin(\varepsilon) \\ cos(\varepsilon) }(-2\pi) [/mm] und das ist für kein [mm] \varepsilon [/mm] erfüllt, allein schon durch die verschiedenen Vorzeichen der Komponenten.
Grüße mathmetzsch
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