Mittelwertsatz < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Mittelwertsatz der Differentialrechnung:
[mm] \bruch{{f(b)-f(a)}}{b-a}=f^{,}(\xi)
[/mm]
Gegeben ist die Funktiion [mm] f(x)=e^{\bruch{x}{3}} [/mm] im Intervall ]1;7[.
Zeigen Sie, dass dort tatsächlich ein [mm] \xi [/mm] existiert, das die obige Gleichung erfüllt. |
Wie soll ich mit dem offenen Intervall vorgehen?
Meine Überlegung war, ich suche mir die Punkte [mm] P_{1} [/mm] bei x=1 und [mm] P_{2} [/mm] bei x=7
durch diese Punkte leg ich dann eine Gerade dann bekomm ich auch eine Steigung der Geraden und dann such ich einen Punkt [1;7] der die Gleich Steigung hat wie die Gerade durch die 2 Punkte und Leg dort eine Tangente an die dann auch die Gleiche Steigung hat wie die Gerade.
Aber ich glaube, dass das nicht richtig ist.
Kann mir jemand weiter helfen?
lg
|
|
| |
|
> Mittelwertsatz der Differentialrechnung:
>
> [mm]\bruch{{f(b)-f(a)}}{b-a}=f^{,}(\xi)[/mm]
>
> Gegeben ist die Funktion [mm]f(x)=e^{\bruch{x}{3}}[/mm] im
> Intervall ]1;7[.
> Zeigen Sie, dass dort tatsächlich ein [mm]\xi[/mm] existiert, das
> die obige Gleichung erfüllt.
> Wie soll ich mit dem offenen Intervall vorgehen?
> Meine Überlegung war, ich suche mir die Punkte [mm]P_{1}[/mm] bei
> x=1 und [mm]P_{2}[/mm] bei x=7
> durch diese Punkte leg ich dann eine Gerade dann bekomm
> ich auch eine Steigung der Geraden und dann such ich einen
> Punkt [1;7] der die Gleich Steigung hat wie die Gerade
> durch die 2 Punkte und Leg dort eine Tangente an die dann
> auch die Gleiche Steigung hat wie die Gerade.
> Aber ich glaube, dass das nicht richtig ist.
>
> Kann mir jemand weiter helfen?
>
> lg
Guten Abend,
ich denke, dass in dem Beispiel nur mal an einer
ganz konkreten Funktion die Existenz des durch
den Mittelwertsatz behaupteten xi-Wertes durch
exakte Vorlegung dieses Wertes exemplarisch
gezeigt werden soll.
Berechne also den (exakten ! , nicht etwa dezimal
dargestellten) Wert von
$\ m:=\ [mm] \bruch{{f(b)-f(a)}}{b-a}$
[/mm]
für a=1 und b=7
sowie die Ableitungsfunktion f'(x) und zeige dann
(natürlich ohne Rückgriff auf den Mittelwertsatz),
dass es einen Wert [mm] \xi\in [/mm] ]1;7[ gibt, für welchen
die Gleichung $\ [mm] f'(\xi)\ [/mm] =\ m$ gilt. Den Wert dieser
Zahl [mm] \xi [/mm] kannst du zuerst in exakter Form angeben
und dann z.B. mittels einer geeigneten Approxi-
mation durch Ungleichungen zeigen, dass er
tatsächlich zwischen a=1 und b=7 liegen muss.
LG , Al-Chw.
|
|
|
| |
|
Hallo!
Danke für deine Hilfe!
also wenn ich für [mm] m=\bruch{{f(b)-f(a)}}{b-a} [/mm] einsetze [1;7]
dann ist [mm] m=\bruch{1}{6}*e^\bruch{7}{3}-\bruch{1}{6}*e^\bruch{1}{3}
[/mm]
und für [mm] f'(\xi)=m
[/mm]
[mm] \bruch{1}{3}*\bruch{x}{3}=\bruch{1}{6}*e^\bruch{7}{3}-\bruch{1}{6}*e^\bruch{1}{3}
[/mm]
[mm] x=\bruch{3*\ln(\bruch{1}{6}*e^\bruch{7}{3}-\bruch{1}{6}*e^\bruch{1}{3})}{\bruch{1}{3}} \approx3.57
[/mm]
ich hoffe, dass das richtig ist. Wie soll ich jetzt beweisen, dass dieses [mm] \xi [/mm] wirklich auf [1;7] liegt?
LG
|
|
|
| |
|
Hallo!
Ich dachte, dass [mm] \approx3,57 [/mm] eben der wert für [mm] \xi [/mm] ist.
Wie geht das richtig?
Kannst du mir da ein bisschen auf die Sprünge helfen.
LG
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Ich dachte, dass [mm]\approx3,57[/mm] eben der wert für [mm]\xi[/mm] ist.
Nun, das ist er nicht.
> Wie geht das richtig?
> Kannst du mir da ein bisschen auf die Sprünge helfen.
Wenn [mm] f(x)=e^{x/3} [/mm] ist, was ist dann $f'(x)$?
Da lag der Fehler, also: Ableitung überprüfen.
lg
rev
|
|
|
| |
|
ja ich bekomm für
[mm] f(x)=e^\bruch{x}{3}
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{1}{3}*e^\bruch{x}{3}
[/mm]
und dann hab ich m=f'(x) weil das x ja das gesuchte [mm] \xi [/mm] ist oder nicht?
lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:42 Mo 02.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> ja ich bekomm für
>
> [mm]f(x)=e^\bruch{x}{3}[/mm]
>
> [mm]f'(x)=\bruch{1}{3}*e^\bruch{x}{3}[/mm]
Ja
>
> und dann hab ich m=f'(x) weil das x ja das gesuchte [mm]\xi[/mm]
> ist oder nicht?
Nein. Du sollst zeigen, dass die Gleichung
[mm] \bruch{1}{6}\cdot{}e^\bruch{7}{3}-\bruch{1}{6}\cdot{}e^\bruch{1}{3}=\bruch{1}{3}\cdot{}e^\bruch{\xi}{3} [/mm] eine Lösung [mm] \xi \in [/mm] ]1,7[ hat.
FRED
>
> lg
|
|
|
| |
|
Hallo FRED!
Danke für deine Hilfe. Ich hab noch ein Problem mit dem Beweisen. Wie soll ich das machen? Ich hab schon viel gegoogelt, den MWS und den Beweis hab ich gefunden aber eben nicht wie man diesen auf eine Funktion anwendet. Deswegen weiß ich nicht genau wie ich meine Aufgabe lösen soll/kann.
Bin für weitere Hilfe dankbar!
wie kann ich zeigen dass [mm] \xi [/mm] ein Element von ]1;7[ ist?
[mm] m=f'(\xi)
[/mm]
[mm] \bruch{1}{6}\cdot{}e^\bruch{7}{3}-\bruch{1}{6}\cdot{}e^\bruch{1}{3}=\bruch{1}{3}\cdot{}e^\bruch{\xi}{3} [/mm]
[mm] \xi \in [/mm] ]1,7[
LG
|
|
|
| |
|
Hiho,
> wie kann ich zeigen dass [mm]\xi[/mm] ein Element von ]1;7[ ist?
In dem du nach [mm] \xi [/mm] umstellst und dann argumentierst, dass [mm] \xi [/mm] wirklich im besagten Intervall liegt!
Also noch mehr kann man dir das nicht vorkauen.....
Gruß,
Gono.
|
|
|
|
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Ähem. Was ist denn bitte $f'(x)$ im allgemeinen hier?
