Mittelwertsatz, Ableitung, NST < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Hier geht es um den Mittelwertsatz.
Zeigen Sie, dass die Nullstellen der Ableitung des Polynoms x(x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4) sämtlich reell sind. |
ok also ich habe mir gedacht, dass ich es auf die alte (schulmathematische) methode versuche, da ich mit dem mittelwertsatz noch nicht wirklich gearbeitet habe. somit habe ich die funktion erst einmal ausmultipliziert und abgeleitet:
f(x)= [mm] x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=x(x^2-3x+2)(x^2-7x+12)=x(x^4-7x^3+12x^2-3x^3+21x^2-36x+2x^2-14x+24)
[/mm]
[mm] =x(x^4-10x^3+35x^2-50x+24)=x^5-10x^4+35x^3-50x^2+24x
[/mm]
[mm] f'(x)=5x^4-40x^3+105x^2-100x+24
[/mm]
nun finde ich jedoch (wie wahrscheinlich vom professor gewollt) keine nullstelle. wie kann ich das mit dem mittelwertsatz machen?
|
|
| |
|
Hallo trixi28788,
> Hier geht es um den Mittelwertsatz.
> Zeigen Sie, dass die Nullstellen der Ableitung des
> Polynoms x(x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4) sämtlich
> reell sind.
> ok also ich habe mir gedacht, dass ich es auf die alte
> (schulmathematische) methode versuche, da ich mit dem
> mittelwertsatz noch nicht wirklich gearbeitet habe. somit
> habe ich die funktion erst einmal ausmultipliziert und
> abgeleitet:
>
> f(x)=
> [mm]x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=x(x^2-3x+2)(x^2-7x+12)=x(x^4-7x^3+12x^2-3x^3+21x^2-36x+2x^2-14x+24)[/mm]
> [mm]=x(x^4-10x^3+35x^2-50x+24)=x^5-10x^4+35x^3-50x^2+24x[/mm]
>
> [mm]f'(x)=5x^4-40x^3+105x^2-100x+24[/mm]
>
> nun finde ich jedoch (wie wahrscheinlich vom professor
> gewollt) keine nullstelle. wie kann ich das mit dem
> mittelwertsatz machen?
Nun, Du weißt z.B. daß f(0)=0 und f(1)=0 ist.
Außerdem ist f stetig und differenzierbar.
Somit gibt es laut Mittelwertsatz mindestens eine
Stelle x zwischen 0 und 1, für die gilt:
[mm]\bruch{f\left(1\right)-f\left(0\right)}{1-0}=f'\left(x\right)[/mm]
Das geht analog mit den anderen Nullstellen von f.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
ok, dass sieht ja dann gar nicht mal schwer aus. dasselbe jetzt noch für die andern intervalle und dann is soweit gezeigt, dass die nullstellen der ableitungsfunktion zwischen den nullstellen der eigentlichen funktion liegen. somit ist auch ausgeschlossen, dass diese zu den natürlichen und ganzen zahlen gehören können. aber ist damit auch gesagt, dass es keine rationale zahl ist? ich soll ja zeigen, dass die nullstellen reell sind. meiner meinung nach können die allerdings auch rational sein. also zumindestens ist das noch nicht ausgeschlossen, oder sehe ich das falsch?
|
|
|
| |
|
Hiho,
> somit ist auch ausgeschlossen, dass diese zu den
> natürlichen und ganzen zahlen gehören können.
Jo, nur wieso ist das wichtig?
> aber ist
> damit auch gesagt, dass es keine rationale zahl ist? ich
> soll ja zeigen, dass die nullstellen reell sind. meiner
> meinung nach können die allerdings auch rational sein.
> also zumindestens ist das noch nicht ausgeschlossen, oder
> sehe ich das falsch?
Wieso darf das keine rationale Zahl sein?
Ist eine rationale Zahl nicht reell?
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
hab schon fast mit der antwort gerechnet^^ aber ist dann nicht die ganze aufgabe ziemlich witzlos? warum gibts die dann überhaupt? oder wollen die damit nur, dass man sagt die sind nicht komplex?
|
|
|
| |
|
Hiho,
> hab schon fast mit der antwort gerechnet^^ aber ist dann
> nicht die ganze aufgabe ziemlich witzlos? warum gibts die
> dann überhaupt? oder wollen die damit nur, dass man sagt
> die sind nicht komplex?
ja, es ist ja nunmal so, dass die Anzahl der rellen Nullstellen eines Polynoms immer kleiner gleich dem Grad des Polynoms ist, im komplexen ist die Anzahl immer gleich dem Grad, d.h. die Aussage, dass alle Nullstellen eines Polynoms reell sind, ist schon eine ziemlich starke und macht daher durchaus Sinn.
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:20 Sa 02.01.2010 | | Autor: | Rea |
Aber dann muss ich doch nocheinmal direkt beweisen, dass die Extrema reell sind,oder?
In der Aufgabe steht ja nicht einmal der Definitionsbereich( R oder C?), komplexe Zahlen würden meiner Meinung nach aber keinen Sinn machen, da der Mittelwertsatz nur für reelle Funktionen definiert wurde.
Beweise ich,dass die Extrema/Nullstellen der Ableitung reell sind, in dem ich behaupte, es gibt keine komplexe Zahl zwischen 0 und 1?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:17 Sa 02.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo Rea!
> Aber dann muss ich doch nocheinmal direkt beweisen, dass
> die Extrema reell sind,oder?
> In der Aufgabe steht ja nicht einmal der
> Definitionsbereich( R oder C?), komplexe Zahlen würden
> meiner Meinung nach aber keinen Sinn machen, da der
> Mittelwertsatz nur für reelle Funktionen definiert wurde.
> Beweise ich,dass die Extrema/Nullstellen der Ableitung
> reell sind, in dem ich behaupte, es gibt keine komplexe
> Zahl zwischen 0 und 1?
Nein. Der Punkt hier ist, dass man Aussagen verknüpft:
1. Das Polynom $p(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$ hat die 5 Nullstellen 0,1,2,3,4.
2. Die Ableitung des Polynoms $p(x)$ ist ein Polynom 4. Grades und hat daher (in [mm] $\IC$) [/mm] genau 4 Nullstellen.
3. Mit dem Mittelwertsatz wird gezeigt, dass zwischen je zwei benachbarten reellen Nullstellen von $p(x)$ mindestens eine reelle Nullstelle von $p'(x)$ liegt, insgesamt also mindestens 4 Nullstellen von $p'(x)$.
Also habe ich bereits alle 4 Nullstellen gefunden, und diese sind alle reell.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
|
