Mittelwertsatz/Zerlegung < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:18 Di 13.03.2012 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | Man finde ein [mm] \epsilon \in [/mm] [0,1] mit
[mm] \integral_{0}^{1}{x^2(1-x) dx} [/mm] = [mm] \varepsilon^2 \integral_{0}^{1} [/mm] (1-x) dx |
Also der Mittelsatz der Integralrechnung lautet
f stetig in [a,b], [mm] \phi \ge [/mm] 0 und Riemanintegrierbar
[mm] \exists \epsilon \in [/mm] [a,b] : [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) \phi(x) dx} [/mm] = [mm] f(\epsilon)\integral_{a}^{b} \phi [/mm] (x) dx
Im Prinzip ist das ja auch da oben mit
f(x) = [mm] x^2
[/mm]
und [mm] x^2 [/mm] ist stetig.
[mm] \phi [/mm] (x) = 1-x und von [0,1] ist [mm] \phi(x) \ge [/mm] 0
also existiert ein solches [mm] \varepsilon.
[/mm]
Aber wie finde ich den Wert raus des [mm] \varepsilon [/mm] ?
Weil ich darf das Integral als solches noch nicht verwenden nur jeweils mit Unter und Ober-summen argumentieren.
[mm] \integral_{0}^{1} [/mm] (1-x) dx
Welche Zerlegung nehme ich her?
[mm] \integral_{0}^{1}{x^2(1-x) dx} [/mm] #Und hier genauso..?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:28 Di 13.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Man finde ein [mm]\epsilon \in[/mm] [0,1] mit
> [mm]\integral_{0}^{1}{x^2(1-x) dx}[/mm] = [mm]\varepsilon^2 \integral_{0}^{1}[/mm]
> (1-x) dx
> Also der Mittelsatz der Integralrechnung lautet
> f stetig in [a,b], [mm]\phi \ge[/mm] 0 und Riemanintegrierbar
> [mm]\exists \epsilon \in[/mm] [a,b] : [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) \phi(x) dx}[/mm]
> = [mm]f(\epsilon)\integral_{a}^{b} \phi[/mm] (x) dx
>
> Im Prinzip ist das ja auch da oben mit
> f(x) = [mm]x^2[/mm]
> und [mm]x^2[/mm] ist stetig.
> [mm]\phi[/mm] (x) = 1-x und von [0,1] ist [mm]\phi(x) \ge[/mm] 0
> also existiert ein solches [mm]\varepsilon.[/mm]
>
> Aber wie finde ich den Wert raus des [mm]\varepsilon[/mm] ?
> Weil ich darf das Integral als solches noch nicht
> verwenden nur jeweils mit Unter und Ober-summen
> argumentieren.
irgendwie blöd', dass Du das noch nicht darfst. Spaßeshalber tu' mal so, als ob Du's dürftest. Unten machen wir's dann halt so, wie's die Aufgabe verlangt!
> [mm]\integral_{0}^{1}[/mm] (1-x) dx
> Welche Zerlegung nehme ich her?
Du musst Zerlegungsfolgen hernehmen. Welche, die immer feiner werden.
Aber mach's erstmal für eine spezielle:
Zerlege doch einfach für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] das Intervall $[0,1]$ in [mm] $n\,$ [/mm] gleiche Teile... (Numeriker machen das eh meist so, wenn sie Integrale auswerten wollen - nur, dass Du halt wirklich auch zeigen können solltest, was die Ober- und Untersummen "machen" (sollen) (da kommt also irgendwann ein Argument à la "für jede immer feiner werdende Zerlegungsfolge..."). Siehe Definition Riemann-Integral!)
> [mm]\integral_{0}^{1}{x^2(1-x) dx}[/mm] #Und hier genauso..?
Ja?! Warum denn was neues erfinden?
Darfst Du denn nicht schon sowas wie [mm] $\int (f+g)=\int [/mm] f [mm] +\int g\,,$ [/mm] wenn beide Integrale rechterhand existieren, verwenden? Aber im Endeffekt ist das auch egal,weil Du ja mit (konvergenten) Reihen rechnen kannst. Und vielleicht auch die ein oder andere bekannte Summenformel wiederfinden wirst!
Gruß,
Marcel
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