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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:47 Mo 20.12.2010 | | Autor: | stffn |
| Aufgabe | | Zeige, dass [mm] e^x>1+x [/mm] für alle [mm] x\in \IR [/mm] \ {0} gilt. Verwende dazu das Monotoniekriterium oder den Mittelwertsatz. |
Hallo und guten Abend!
Also ich würde das jetzt so machen:
[mm] \limes_{x\rightarrow-\infty} 1+x<\limes_{x\rightarrow-\infty} e^x
[/mm]
[mm] \gdw -\infty<0
[/mm]
und da [mm] (e^x)'=e^x>(1+x)'=1 [/mm] für alle x>0 gilt, muss das ja stimmen.
Aber irgendwie habe ich das Gefühl, dass das nicht ausreicht.
Naja. Ich würde das Ganze auch gerne mal mit dem Mittelwertsatz machen, weil ich mit diesem noch keinerlei Übung habe.
Der Satz lautet ja [mm] f'(x_{0})=\bruch{f(b)-f(a)}{b-a}.
[/mm]
Wie wende ich den auf diese spezielle Aufgabe an?
[mm] f'(x_{0}) [/mm] ist ja die Steigung der Tangente an einem Punkt [mm] x_{0} [/mm] und [mm] \bruch{f(b)-f(a)}{b-a} [/mm] müsste ja eine Sekantensteigung von [mm] e^x [/mm] sein.
x+1 wäre ja die Tangente in x=0, wenn die Stelle definiert wäre.
Ich denke, jetzt müsste man zeigen, dass jede Sekante mit der selben Steigung einen höheren Schnittpunkt mit der y-Achse hat. Oder?
Die Antwort hat Zeit, und wenn man das wunderlicher weise so machen kann wie ich es gezeigt habe, kann ich mir das mit dem Mittelwertsatz auch von Kommilitonen zeigen lassen. Muss nur im Moment mal wieder bisl was nachholen, und da dacht ich mir, kann ich ja die profiss hier schonmal fragen:)
Danke, und schönen Abend noch!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:21 Mo 20.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du musst die Monotonie nach verankern:
für x=0 [mm] e^x=1+x, [/mm] und [mm] (e^x)'>(1+x)' [/mm] beide monoton für alle x>0
fehlen noch die x<0 und zwar die zwischen 0 und -1, danach ist ja 1+x<0 und [mm] e^x>0 [/mm] d. h da ist es klar.
warum betrachtest du den lim gegen -unendlich? es geht doch um alle x?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:45 Mo 20.12.2010 | | Autor: | stffn |
> warum betrachtest du den lim gegen -unendlich? es geht
> doch um alle x?
> Gruss leduart
>
Achso, da dachte ich mir, zeige ich, dass [mm] e^x [/mm] nie negativ wird und damit ab x<-1 sowieso größer als 1+x ist. Aber natürlich habe ich den Bereich [mm] -1\le [/mm] x<0 vergessen.
Ich kann mir das zwar logisch selbst erklären, aber die mathematische Beschreibung fällt mir schwer:
Also da die Steigung der Tangente von [mm] e^x [/mm] für [mm] -1\le [/mm] x<0 immer kleiner als 1 und damit kleiner als die Steigung der Geraden x+1 ist, ist [mm] e^x>1+x [/mm] auch für [mm] -1\le [/mm] x<0.
... und [mm] \limes_{x\rightarrow0}e^x=\limes_{x\rightarrow0}x+1 [/mm] könnte man dann vielleicht noch zusätzlich hinschreiben. Hmmm.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:19 Mo 20.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, so ists ok, aber warum den lin x gegen 0, du kannst doch einfach x=0 einsetzen, nur die ungleichung gilt nicht für x=0, weil da gleichheit ist, und die brauchst du für den rest der argumente.
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:39 Mo 20.12.2010 | | Autor: | stffn |
Ok, das macht Sinn.
Danke nochmal!
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