Mittendreieck < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei $(A,B,C) [mm] \in \IC \times \IC \times \IC$ [/mm] ein Dreieck.Ein beschriebenes Dreieck $(A',B',C')$ heißt Mittendreieck,falls seine Eckpunkte gerade die Seitenmitten von $ (A,B,C)$ sind.
$a)$ Geben sie eine Ähnlichkeitstransformation $ [mm] n_\lambda$ [/mm] an,die das Dreieck $(A,B,C)$ auf sein Mittendreieck $(A',B',C')$ abbildet
$b)$ Zeigen sie,dass $(A,B,C)$ und $(A',B',C')$ den gleichen Schwerpunkt haben.
$c)$ Bestimmen sie Formeln für den Umfang und den flächeninhalt des Mittendreiecks |
zur a)
ich kann mir nicht unter dieser Ähnlichkeitstransformation vorstellen. ich kann mir vorstellen dann man die Eckpunkte von $(A',B',C')$ als Seitenhalbierenden von $(A,B,C) $ auffassen kann ,aber ähnlichkeitstransformation ,kein plan..:/
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Hallo PeterPaul,
was heißt hier "kein Plan"? Dann mach Dir mal einen.
Zeichne ein Dreieck (möglichst ohne besondere Eigenschaften) und zeichne sein "Mittendreieck" ein. Danach solltest Du schon eine Vermutung haben. Wie lang sind seine Seiten? Wie ist seine Lage in Relation zum ursprünglichen Dreieck?
Der Frage der Seitenhalbierenden würde ich mich dann erst danach widmen. Die brauchst Du ja in der Tat, um die Behauptung über den gemeinsamen Schwerpunkt nachzuweisen. Dazu wird es genügen, eine einzige der Seitenhalbierenden des ursprüngichen Dreiecks mit der "entsprechenden" des Mittendreiecks zu vergleichen.
Mach das alles mal, dann hast Du genügend Material, um die Abbildung (hier eie Ähnlichkeitstransformation) genau zu formulieren. Es gibt ja eigentlich nur drei Ähnlichkeitstransformationen - welche? (Manche zählen ungenauerweise die Spiegelung als vierte noch dazu).
Grüße
reverend
> Sei [mm](A,B,C) \in \IC \times \IC \times \IC[/mm] ein Dreieck.Ein
> beschriebenes Dreieck [mm](A',B',C')[/mm] heißt Mittendreieck,falls
> seine Eckpunkte gerade die Seitenmitten von [mm](A,B,C)[/mm] sind.
>
> [mm]a)[/mm] Geben sie eine Ähnlichkeitstransformation [mm]n_\lambda[/mm]
> an,die das Dreieck [mm](A,B,C)[/mm] auf sein Mittendreieck
> [mm](A',B',C')[/mm] abbildet
>
> [mm]b)[/mm] Zeigen sie,dass [mm](A,B,C)[/mm] und [mm](A',B',C')[/mm] den gleichen
> Schwerpunkt haben.
>
> [mm]c)[/mm] Bestimmen sie Formeln für den Umfang und den
> flächeninhalt des Mittendreiecks
> zur a)
>
> ich kann mir nicht unter dieser Ähnlichkeitstransformation
> vorstellen. ich kann mir vorstellen dann man die Eckpunkte
> von [mm](A',B',C')[/mm] als Seitenhalbierenden von [mm](A,B,C)[/mm] auffassen
> kann ,aber ähnlichkeitstransformation ,kein plan..:/
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Also ich hab mir das mal aufgemalt. Wenn ich das dreieck abc um $45°$ mit dem uhrzeiger sinn drehe und dann die strecke um $ 1/2$ der urspruenglichen strecke stauche bekomme ich das mitten dreieck
Also irgendwie $A'B'C'=(1/2 (|A-B|+|A-C|+|B-C|) [mm] )\alpha [/mm] $ fuer [mm] $\alpha= [/mm] 45°$
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:57 Do 02.07.2015 | | Autor: | chrisno |
Mit den 45° liegst Du daneben. Mach das Ganze mal mit einem Dreieck, das einen Winkel von 160° hat.
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hallo erstmal danke für jegliche Hilfe
ich hab heute im skript was gefunden
wir haben das ganze als Bewegung definiert mit
[mm] $\phi:\IC \to \IC$
[/mm]
[mm] $\phi(A)= [/mm] PA+Q$ und [mm] $\phi(A)= P\overline{A}+Q$ [/mm] mit $Q [mm] \in \IC$ [/mm] und $P [mm] \in S^1$. $S^1$ [/mm] soll der einheitskreis sein
daraum
also ich weis das ich jede seite $a,b,c$ stauchen muss um [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] , aber kann es dann sein dass [mm] $P=\frac{1}{2}$ [/mm] plus Q das jetzt irgendein Winkel ist..:/
edit:
ich hab das mit der Bewegung gewählt ,da wir so ein ähnliches Beispiel im tutorium gemacht haben,jedoch was ich nicht genau, wie man das jetzt anstellt mit dem winkel,weil wie chrisno schon korrekt angemerkt hat ,können die Winkelgrade ja immer verschieden sein..:/
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Hallo nochmal,
Deine Aufgabe ist doch gerade darum gut als Übungsaufgabe, weil sie im Prinzip auch mit den Mitteln der Mittelstufengeometrie zu lösen ist.
Wenn Du das ursprüngliche Dreieck mal auf eine seiner Seiten "legst", siehst Du sofort, dass die Verbindung der Seitenmitten der beiden anderen Seiten parallel zur "unteren" Seite sein muss (warum?). Auch ist diese neue Seite genau halb so lang wie die Seite, auf der das ursprüngliche Dreieck "liegt" (warum?).
Das ursprüngliche Dreieck wird also auf eines abgebildet, das um 50% verkleinert und um 180° gedreht ist.
Jetzt stellt sich noch die Frage, was der Mittelpunkt dieser ganzen Operation ist. Das muss der einzige Punkt sein, der bei dieser Abbildung fest bleibt - und die Aufgabe benennt hier den gemeinsamen Schwerpunkt des Ur- und des Bilddreiecks.
Wenn Du das alles erst einmal elementargeometrisch verstanden (und am besten auch gezeigt hast), kannst und sollst Du Dich daran machen, das Ganze in die neue mathematische Sprache, die Du gerade erlernst, zu "übersetzen".
So kannst Du an das, was Du schon beherrsch(en sollte)st, anknüpfen.
Also: wieso 180°, immer?
Grüße
reverend
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Ja 180° weil jeder punkt Ja gespiegelt wird also eine punkt spiegelung aber wie schreibe ich das auf?...:/
Die b) hab ich hinbekommen beim flaecheninhalt und umfang schwaechel ich noch was:/
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Ich hab noch heraus bekommen ,dass der Flächeninhalt des Mittendreiecks
also [mm] $\Delta(A',B',C')= \frac{1}{4}\Delta(A,B,C)$
[/mm]
und der Umfang [mm] $\frac{1}{2}U((A,B,C))=U(A',B',C')$
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:22 So 05.07.2015 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Ich hab noch heraus bekommen ,dass der Flächeninhalt des
> Mittendreiecks
>
> also [mm]\Delta(A',B',C')= \frac{1}{4}\Delta(A,B,C)[/mm]
>
> und der Umfang [mm]\frac{1}{2}U((A,B,C))=U(A',B',C')[/mm]
Das ist korrekt.
Marius
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:28 So 05.07.2015 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Ja 180° weil jeder punkt Ja gespiegelt wird also eine
> punkt spiegelung aber wie schreibe ich das auf?...:/
Es gibt einen Punkt, der bei der Abbildung liegenbleibt, welcher Punkt ist das?
Und genau an diesem Punkt drehst du das alte Dreieck um 180° und verkleinerst die Seiten um auf die Hälfte.
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> Die b) hab ich hinbekommen beim flaecheninhalt und umfang
> schwaechel ich noch was:/
Das hast du ja inzwischen hinbekommen
Marius
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das müsste der schwerpunkt sein da der bei beiden dreiecken gleich ist ,
aber wie schreibe ich das mit
$ [mm] \phi:\IC \to \IC [/mm] $
$ [mm] \phi(A)= [/mm] PA+Q $ und $ [mm] \phi(A)= P\overline{A}+Q [/mm] $ mit $ Q [mm] \in \IC [/mm] $ und $ P [mm] \in S^1 [/mm] $. $ [mm] S^1 [/mm] $ soll der einheitskreis sein
auf? :/
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:05 So 05.07.2015 | | Autor: | abakus |
Hallo,
wenn man den Schwerpunkt in den Koordinatenursprung legt, dann muss man alle Eckpunktskoordinaten nur mit -0,5 multiplizieren.
Wenn der Schwerpunkt noch nicht im Ursprung liegt, ist eine entsprechende Verschiebung dorthin (und nach der erfolgten "Drehstauchung" eine Rückverschiebung an die alte Stelle) erforderlich.
Gruß Abakus
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also
[mm] $\phi(A',B',C')= \frac{1}{2}*S_{A,B,C}+sin(\pi) [/mm] $ also $ [mm] sin(\pi)=180 [/mm] $ grad
edit: das macht irgendwie keinen sinn und macht mich gleichzeitig wahnsinnig bei der 'Hitze draußen .
wieso sollte ich den schwerpunkt um [mm] \frac{1}{2} [/mm] skalieren?
wenn ich den punkt A transformieren will, nehme ich doch alle drei strecken [mm] \frac{1}{2}*(a,b,c [/mm] ) und dreh das dreieck am scheitelpunkt um 180 grad ,aber mir ist nicht klar, wie ich das mit der formel daoben ausdrücken soll..:/
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Di 07.07.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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