Modellieren einer Creme-Tube < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:56 Do 10.02.2005 | | Autor: | laana |
Ich verstehe den cavalieri im zusammenhang mit der Volumberechnung nicht. könnt ihr mir helfen?
ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:12 Do 10.02.2005 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, laana,
wo steht denn was darüber, welche Form die Tube haben soll?
Bist Du sicher, dass sie "unten" eine Falz haben muss
und dass sie nicht z.B. wie ein schmaler Zylinder mit aufgesetztem Kegel aussehen darf?
Das musst Du uns schon genauer erläutern!
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:35 Do 10.02.2005 | | Autor: | laana |
hey..
also soweit ich weiß muss das eine stinknormale tube werden.. jedoch mit minimalem materialaufwand..
da wär ein kegel oben drauf ja nich so praktisch..
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:53 Fr 11.02.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo Swetlana
sei bitte so nett und schreibe uns die genaue Aufgabe. Mit den Begriffen "ich glaube" und "stinknormale Tuba" kann man in der Mathematik nicht wirklich viel anfangen! Der erste Begriff gehört in die Religion, der zweite in ein Slang-Wörterbuch.
Auch wäre es Forumregelkonform, wenn du uns deine bisherigen Gedankengänge mitteilen würdest.
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:23 Sa 12.02.2005 | | Autor: | laana |
Also meine Aufgabe ist es, eine Tube mit 75ml inhalt zu modellieren, wobei der Materialaufwand möglichst gering gehalten werden soll.
Die Form, soll eine ganz normale Form einer Tube haben. Ob sie jetzt mehr breit, oder mehr lang sein soll ist egal. Muss halt einen geringen materialaufwand haben. D.h die Mantelfläche soll gering sein.
Mehr wurde mir auch nicht gesagt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:00 Sa 12.02.2005 | | Autor: | Zwerglein |
Hallo, laana,
also wenn die Form der Tube wirklich völlig egal ist, dann würd ich 'ne kugelförmige Tube nehmen! Bei der ist die Oberfläche im Vergleich zum Volumen tatsächlich minimal!
Wenn die Tube jedoch so aussehen soll wie eine "normale Tube",
ist mir keine "Formel" bekannt, mit der man Volumen und (noch schlimmer!) Oberfläche ausrechnen soll. Rein intuitiv würd' ich aber sagen:
Eine kürzere Tube mit breiterem "Durchmesser" ist im Sinne der Aufgabe "Besser" als eine lange, schmale: Zahnpastatuben der üblichen Art sind von daher nicht optimal!
Ah, und übrigens: Es gibt sehr wohl Cremetuben, die unten keinen Falz haben, sondern einen kreisförmigen "Standfuß". Also war mein erster Vorschlag (Zylinder + aufgesetzter Kegel) gar nicht mal soooo übel!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:57 Sa 12.02.2005 | | Autor: | laana |
^^ ja die idee war ja gar nich mal so schlecht.. danke!
aber es muss ja eine handelsübliche tube sein.. und ich soll irgendwie eine Formel erstellen, mit der man das volumen ausrechnet und dann soll ich ja noch die mantelfläche überprüfe,... also überprüfen ob das wirklich einen minimalen aufwand hat..
komm aber nich drauf.. bin schon am verzweifeln..
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Hallo laana,
> ^^ ja die idee war ja gar nich mal so schlecht.. danke!
> aber es muss ja eine handelsübliche tube sein.. und ich
> soll irgendwie eine Formel erstellen, mit der man das
> volumen ausrechnet und dann soll ich ja noch die
> mantelfläche überprüfe,... also überprüfen ob das wirklich
> einen minimalen aufwand hat..
> komm aber nich drauf.. bin schon am verzweifeln..
>
Kann es sein, dass die Aufgabe so eine "neumodische" Aufgabe ist, bei der man einfach selbst seine Bedingungen festlegen kann/soll und dann daraus sein Ergebnis herleiten, sog. "offene Aufgabe" oder "Modellierungsaufgabe"?
Wir in Hessen haben solche Aufgaben neuerdings "im Angebot".
Unter dieser Voraussetzung ist es absolut zulässig, sich eine Tube als Zylinder mit aufgesetztem Kegel vorzustellen. So sehr weit entfernt von der Realität ist das doch gar nicht. 
Also: Kegel mit Höhe [mm] h_K [/mm] und Radius r, Zylinder mit demselben Radius r und der Höhe [mm] h_Z;
[/mm]
überlege, welche Beziehungen zwischen diesen drei Variablen bestehen, damit du am Ende eine Funktion erhältst, die nur noch von einer Variablen abhängt.
Ich würde diesen Ansatz mal verfolgen.
Berichte mal, was du in der Schule dazu gesagt bekommst.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:09 So 13.02.2005 | | Autor: | laana |
Nein, es soll eine normale tube sein... kein zylinder mit kegel.!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:21 So 13.02.2005 | | Autor: | rAiNm4n |
Hallo laana,
mit dem Wort "Tube" kann man mathematisch nicht sehr viel anfangen. Man kann sich ja alle möglichen Tubenformen vorstellen.
> --> cavalieri..! aber irgendwie versteh ich den nich so
> ganz...
Wenn man allerdings einige Merkmale für die Tube vorraussetzt, kann man in der Tat das Volumen mit dem Satz von Cavalieri leicht berechnen. Der Satz besagt nämlich, dass zwei Körper, welche die folgenden drei Bedingungen erfüllen, das gleiche Volumen haben:
1.) Die Flächeninhalte der Grundflächen sind gleich [mm] (G_{1}=G_{2})
[/mm]
2.) Sie haben die gleichen Höhen [mm] (h_{1}=h_{2})
[/mm]
3.) Schnittflächen im gleichen Abstand parallel zur Grundfläche haben den gleichen Flächeninhalt [mm] (S_{1}=S_{2})
[/mm]
Wir benötigen jetzt also einen Vergleichskörper, dessen Volumen sich einfach berechnen lässt, und, der die obigen drei Bedingungen mit der Tube erfüllt. Hier bietet sich z.B. ein Kegeln (mit der Höhe H) an:
[mm] V_{Kegel}= \bruch{1}{3} \pi r^2*H
[/mm]
D.h. die Tube muss folgende Vorraussetzungen erfüllen:
1.) Die Grundfläche muss ein Kreis mit dem Radius r sein.
2.) Sie hat die Höhe H.
3.) [mm] S_{Tube}(h)=S_{Kegel}(h) [/mm] (s.o.)
Die Schnittflächen des Kegels lassen sich leicht berechnen, da es Kreise (Radius r') sind: [mm]A= \pi r'^2[/mm] mit [mm]r'=r(1- \bruch{h}{H}) [/mm](Strahlensatz). Also:
[mm] S_{Kegel}(h)=(1- \bruch{h}{H})^2 \pi r^2
[/mm]
Bei der Tube ist es schon etwas schwieriger: Die Schnittflächen sind Ellipsen. Die allgemeine Ellipsengleichung lautet wie folgt:
[mm] \bruch{x^2}{a^2}+ \bruch{y^2}{b^2}=1 [/mm] bzw. [mm]y= \pm \bruch{b}{a} \wurzel{a^2-x^2}[/mm] (mit den Halbachsen a und b)
Ich gehe aber davon aus, dass die "Tube" eine konstante Breite haben soll, daher setze ich a=r. Die Fläche ist dann also:
[mm]S_{Tube}=2 \integral_{-r}^{r} { \bruch{b}{r} \wurzel{r^2-x^2} dx}= \pi rb[/mm]
Da die Schnittflächen nach dem Satz von Cavalieri gleich sein müssen, erhalten wir:
[mm] S_{Tube}=S_{Kegel}
[/mm]
[mm](1- \bruch{h}{H})^2 \pi r^2= \pi rb[/mm]
[mm]b=r(1- \bruch{h}{H})^2[/mm]
D.h. wir haben jetzt ein vollständiges Modell der Tube:
[mm]f_{r,H}(h,x)= \pm (1- \bruch{h}{H})^2 \wurzel{r^2-x^2}[/mm]
mit dem Volumen:
[mm] V_{Tube}=V_{Kegel}= \bruch{1}{3} \pi r^2*H
[/mm]
Edit:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die Tube als 3D-Graph
Die Mantelfläche erhält man, indem man die "Querschnittsumfangsfunktion" der Tube integriert (und dann natürlich die Grundfläche addiert). Also:
[mm]M_{Tube}= \integral_{0}^{H} {U(h) dh}+ \pi r^2[/mm]
Die Sache hat nur einen Haken: Der Umfang einer Ellipse lässt sich nicht genau berechnen (nur näherungsweise):
[mm]U(h)=2 \integral_{-r}^{r} { \wurzel{1+( \bruch{df_{r,H}}{dx})^2} dx}[/mm]
Ein Näherungsverfahren dafür findest du z.B. bei ![[]](/images/popup.gif) wikipedia.de
Um zu deinem Anfangsproblem zurückzukommen: Gesucht sind ja Werte für r und H, bei denen die Mantelfläche M (für ein gegebenes Volumen V=75ml) minimal wird.
[mm] V=75ml=0.075l=0.075dm^3 [/mm] (dementsprechend r und H in dm)
[mm] \bruch{1}{3} \pi r^2*H=0.075
[/mm]
[mm] \pi r^2*H=0.225
[/mm]
[mm]H= \bruch{0.225}{ \pi r^2}[/mm]
Das müsstest du jetzt theoretisch in die Mantelflächenfunktion einsetzen und würdest M(r) erhalten. Anschließend noch ableiten und Nullstellen bestimmen liefert die Extrema. Leider hab ich keinen blassen Schimmer, wie das bei dieser Funktion konkret gehen soll...
Grüße,
Chris
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:23 Di 15.02.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Die Frage wurde auf Wunsch der Fragestellerin kurzzeitig aus dem Forum entfernt. Da aber die Antworten mit viel Mühe verbunden waren und nicht im Nirvana verschwinden sollen, haben wir sie wieder aktiviert.
Viele Grüße
Stefan
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