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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:41 Sa 13.10.2012 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | Wie betrachten den Fall einer Kugel mit der Masse m und dem Radius r aus der Höhe [mm] h_0. [/mm] Ein Modell für die Bewegung der Kugel lautet
mh''(t)=-mg + [mm] F_r [/mm] (h'(t)), t>0
h'(0)=0
[mm] h(0)=h_0
[/mm]
wobei h(t) die Höhe der Kugel nach der Zeit t ist, g die Erdbeschleunigung und [mm] F_r(v) [/mm] den auf die Kugel bei der Fallgeschwindigkeit v wirkenden Luftwiderstand bezeichnet. Nach dem Gesetzt von STokes gilt für genügend kleine Geschwindigkeiten der Kugel [mm] F_r [/mm] (v) = - 6 [mm] \pi [/mm] r [mm] \mu [/mm] v
wobei [mm] \mu [/mm] die dynamische Viskosität der luft ist |
Meine Frage: WIe komme ich auf die Gleichung für v(t) - , was bei mir h'(t) ist - die in Wiki steht?
http://de.wikipedia.org/wiki/Freier_Fall#Fall_mit_Stokes-Reibung
mh''(t)=-mg + [mm] F_r [/mm] (h'(t))
<=>
mh''(t)=-mg - 6 [mm] \pi [/mm] r [mm] \mu [/mm] h'(t)
<=>
[mm] \frac{mh''(t) + mg}{-6 \pi r \mu} [/mm] = h'(t)
Ps.: Ich wusste nicht in welchen Ordner die Frage passt. Ich bin Mathestudent, hab das Semester Modellierung.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:18 Sa 13.10.2012 | | Autor: | pits |
Hallo quasimo
> Meine Frage: WIe komme ich auf die Gleichung für v(t) - ,
> was bei mir h'(t) ist - die in Wiki steht?
> mh''(t)=-mg + [mm]F_r[/mm] (h'(t))
> <=>
> mh''(t)=-mg - 6 [mm]\pi[/mm] r [mm]\mu[/mm] h'(t)
> <=>
> [mm]\frac{mh''(t) + mg}{-6 \pi r \mu}[/mm] = h'(t)
>
Ich würde es mal wie folgt versuchen:
[mm]\gdw mv'=-mg-\beta v \\
\gdw \bruch{m}{\beta} \bruch{dv}{dt}=-\bruch{mg}{\beta}-v[/mm]
Jetzt möchte ich Trennung der Variablen versuchen, allerdings funktioniert das nicht direkt wegen des konstanten Terms [mm] $mg/\beta$. [/mm] Da hoffe ich, dass es mit einer Substitution [mm] $z=\bruch{mg}{\beta}+v$ [/mm] funktioniert. Bei dieser Substitution gilt $z'=v'$.
Also erhält man:
[mm] $\bruch{m}{\beta} \bruch{dz}{dt}=-z \gdw \bruch{m}{\beta \cdot z} \cdot [/mm] dz = - dt $
Integrieren auf beiden Seiten liefert
$ [mm] \bruch{m}{\beta} \ln(z) [/mm] = -t + C $
Wenn man das nach z auflöst und resubstituiert habe ich die Hoffnung, dass die Gleichung von Wikipedia rauskommt. Mit [mm] $v(0)=v_0$ [/mm] kann man dann bestimmt noch C bestimmen.
Ich hoffe, du kommst damit zurecht
pits
PS: es hat ein bisschen länger gedauert, weil ich spontan nicht die Notwendigkeit der Substitution gesehen habe.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:46 Sa 13.10.2012 | | Autor: | quasimo |
Hallo,
danke für die Antwort
> Substitution $ [mm] z=\bruch{mg}{\beta}+v [/mm] $ funktioniert. Bei dieser Substitution gilt $ z'=v' $.
wie kommst du auf z' = v' bwz. nach was leitest du jeweils ab?
> $ [mm] \bruch{m}{\beta} \ln(z) [/mm] = -t + C $
[mm] z=e^{\frac{(C-t)\beta}{m}}
[/mm]
[mm] \bruch{mg}{\beta}+v [/mm] = [mm] e^{\frac{(C-t)\beta}{m}}
[/mm]
v= [mm] e^{\frac{(C-t)\beta}{m}}-\bruch{mg}{\beta}
[/mm]
v(0)=0 = [mm] e^{\frac{C\beta}{m}}-\bruch{mg}{\beta}
[/mm]
[mm] <=>e^{\frac{C\beta}{m}}= \bruch{mg}{\beta}
[/mm]
<=> [mm] \frac{C\beta}{m} [/mm] = log( [mm] \bruch{mg}{\beta})
[/mm]
<=> C= [mm] \frac{m}{\beta} [/mm] log( [mm] \bruch{m g}{\beta})
[/mm]
Das ist aber nicht die Gleichung.. Hab ich was falsch gemacht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:04 So 14.10.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo quasimo,
Du hast es hier mit einer homogenen linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizient zu tun.
Dazu gibt es ein allgemeines Lösungsverfahren.
Kommst Du damit schon mal weiter?
Grüße,
Wolfgang
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:44 So 14.10.2012 | | Autor: | pits |
Hallo quasimo,
du hast nichts falsch gemacht. Dein Ergebnis führt zum Ziel. Ich habe hier aber einfach ein bisschen rumgetrickst. Auf Dauer ist es sicherlich sinnvoll, dass du dir das von Helbig erwähnte allgemeine Lösungsverfahren aneignest.
Diese Art der Trennung der Variablen mit Hilfe des Differentialquotienten ist formal nicht astrein. Funktioniert aber manchmal und man kann dann ja die Lösung noch durch Einsetzen überprüfen.
> wie kommst du auf z' = v' bwz. nach was leitest du jeweils
> ab?
Hier wird nach t abgeleitet. Der Konstante Teil bei der Substitutionsgleichung fällt weg und es bleibt v'. Um die Variable deutlich zu machen, nach der abgeleitet wird, hätte ich besser [mm] $\bruch{dz}{dt} [/mm] = [mm] \frac{dv}{dt}$ [/mm] geschrieben.
> <=> C= [mm]\frac{m}{\beta}[/mm] log( [mm]\bruch{m g}{\beta})[/mm]
> Das ist aber nicht die Gleichung.. Hab ich was falsch
> gemacht?
Nein. Es ist nur etwas kompliziert. Wenn du dieses C jetzt in die Gleichung für v einsetzt und umformst, kommst du auf die Gleichung in Wikipedia. Du musst nur noch die Exponentialfunktion umformen, in dem du die Summe im Exponenten als Produkt zweier Potenzen schreibst, dann fällt der [mm] $\log$ [/mm] bzw [mm] $\ln$ [/mm] weg.
Viel Erfolg
pits
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:15 So 14.10.2012 | | Autor: | quasimo |
Hallo,
Ich habe noch nie in meinen Leben eine Differentialgleichung gelöst und habe dementsprechend auch keine ahnung!
Danke die formel hab ich nun geschafft.
Interessenshalber: Sagt diese Formel etwas signifikantes über die Geschwindigkeit aus?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:07 So 14.10.2012 | | Autor: | pits |
Hallo quasimo
> Ich habe noch nie in meinen Leben eine
> Differentialgleichung gelöst
das wird bestimmt noch häufiger der Fall werden.
> Danke die formel hab ich nun geschafft.
> Interessenshalber: Sagt diese Formel etwas signifikantes
> über die Geschwindigkeit aus?
Na du kannst die Geschwindigkeit jetzt zu jedem Zeitpunkt berechnen. Wenn du t=0 einsetzt muss die Startgeschwindigkeit [mm] $v_0$ [/mm] rauskommen und du kannst z.B. den Grenzwert für t gegen [mm] $\infty$ [/mm] bilden und die Maximalgeschwindigkeit bestimmen.
Gruß
pits
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