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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:31 Di 15.10.2013 | | Autor: | Gosset |
| Aufgabe | Im Boden eines mit Wasser gefüllten geradzylindrischen Gefäßes befindet sich eine rechteckige Öffnung mit den Seiten a=0,5m und b=0,2m die mit einer Klappe verschlossen ist. Diese Klappe möge zur Zeit T=0 beginnend gleichmäßig parallel den Längsseiten der Öffnung mit der Geschwindigkeit v=0,02m/s zur Seite gleiten und so die Öffnung freigeben. Um welchen Betrag x1 senkt sich der Wasserstand der Zeit t1, in der die Klappe die Öffnung vollständig freigegeben hat (t1=b/v) wenn die ursprüngliche Höhe H des Wasserstandes 3m betragen und der Flächenquerschnitt [mm] F=1m^3 [/mm] ist?
Anleitung: Für die Abflussgeschwindigkeit c aus der Öffnung gilt c= 0,61*sqrt(2*g*h), wenn h die Höhe der Wassersäule über der Öffnung in m bezeichnet und g die Erdbeschleunigung ist [mm] (g=9,81m/s^2) [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt:
Hallo,
hoffe ich bin halbwegs im richtigen Unterforum ;)
Es geht um die Modellbildung, die ich leider nicht ganz hinbekomme, bin schon etwas verzweifelt. Ich denke ich muss dh/dt=c ansetzen dann integrieren.
Fläche der Öffnung = [mm] 0,2*0,5=0,1m^2
[/mm]
h(t=0)=0
h(t=t1=10s)=?
dh/dt=c(h) ---> dh/c=dt -> integrieren aber dann fehlt ja noch die zeitabhängigkeit der Öffnungsfläche A(t)?
mfg
Gosset
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:44 Di 15.10.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
rechne doch erstmal in kleinen Zeitschritten.
zB: nach 0.1s ist die Öffnung v*0,01*b groß wieviel fliesst in den 0.1s raus?
dasselbe mit [mm] \Delta [/mm] t statt 0.1s.
wie ändert sich dabei h
Schlimmstenfalls überlege 3 Teilschritte mit [mm] \Delta [/mm] t , dann solltest du die Lösung finden
allgemein, wenn t1 verstrichen ist und die Höhe h1 ist was fließt im nachsten Moment aus, wie ändert sich also die Hühe.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:44 Di 15.10.2013 | | Autor: | Gosset |
A(t)=v*b*t für kleine Intervalle von t [mm] \limes_{dt\rightarrow\ 0} [/mm] A(t) kommt man zur Ableitung A'(t)=v*b
c*A' wäre dann das Volumen pro Sekunde [mm] (m^3/s)
[/mm]
dh/dt=c*A' --> 0,74*sqrt(h)=(0,02*0,2)*t ---->h(t=10)=0,00292
kann das stimmen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:11 Mi 16.10.2013 | | Autor: | chrisno |
Da musst Du langsamer und gründlicher herangehen. Es passieren im Wesentlichen zwei Dinge gleichzeitig, die zur Formulierung einer Differentialgleichung führen. Wenn diese gefunden ist, dann kann deren Lösung gesucht werden.
Zum Einen:
Sobald das Wasser heraus fließt, sinkt auch der Wasserstand. Damit nimmt die Auflussgeschwindigkeit ab. Der Wasserstand wird also langsamer sinken.
Zum Anderen:
Während das Wasser heraus fließt, wird die Austrittsöffnung vergrößert. Also fließt zunehmend mehr Wasser pro Sekunde heraus.
Welcher der beiden Effekte überwiegt, wird die Rechnung zeigen.
Also setze an: Gegeben ist die Höhe h und die Öffnung A. Daraus folgt die Ausströmgeschwindigkeit v. Wie groß ist h nach einer Zeit $Delta t$? Wie groß ist A nach dieser Zeit, wie groß v mit den neuen Werten von h und A?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:35 Mi 16.10.2013 | | Autor: | Gosset |
dh/dt *dA/dt = c
dh/dt* dt/dA = c
dh/dA = c
dh/dt *1/(b*v)=c
dh/(b*v*c)=dt
dh von 3 bis h und dt von 0 bis 10s
h=2,815m
also 3m-2,815m=0,185m ? oder wieder falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:11 Mi 16.10.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
> dh/dt *dA/dt = c
wie kommst du darauf? c ist doch eine Geschw, dh/dt auch, was ist dA/dt
> dh/dt* dt/dA = c links steht etwas mit der Dimensiom 1/m rechts m/s
was hat die Gl mit der vorigen zu tun?
den Rest verstehe ich auch nicht.
Gruss leduart
> dh/dA = c
>
> dh/dt *1/(b*v)=c
>
> dh/(b*v*c)=dt
>
> dh von 3 bis h und dt von 0 bis 10s
>
> h=2,815m
>
> also 3m-2,815m=0,185m ? oder wieder falsch?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:52 Mi 16.10.2013 | | Autor: | Gosset |
dh/dt - Änderung der Höhe des Wasserstandes mit der Zeit
c(h) ... Ablussgeschwindigkeit
dA/dt ... Änderung der Fläche nach der Zeit => A'=v*b
dh/dt = c * (dA/dt)
dh/dt = c* A'
dh = c*A'*dt
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:09 Mi 16.10.2013 | | Autor: | chrisno |
Zuerst rate ich Dir, die Einheiten zu überprüfen. Deine Gleichung für dh kann auch schon deshalb nicht stimmen, weil der Querschnitt des Gefäßes nicht vorkommt.
Bitte lies meine vorige Mitteilung. Wenn Du weiterhin einfach so Gleichungen hinschreibst, werde ich mich nicht mehr beteiligen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:20 Mi 16.10.2013 | | Autor: | Gosset |
"Also setze an: Gegeben ist die Höhe h und die Öffnung A. Daraus folgt die Ausströmgeschwindigkeit v. Wie groß ist h nach einer Zeit $ Delta t $? Wie groß ist A nach dieser Zeit, wie groß v mit den neuen Werten von h und A?"
Daraus werde ich nicht ganz schlau, die Ausströmgeschwindigkeit hängt ja nur von der Höhe ab c(h) [mm] [m^2/s^2] [/mm] sonst sind ja nur konstanten drinnen? wie groß ist dh/dt das wäre eine df(h)/dt wobei ich nur die Ausflussgeschwindigkeit habe?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:46 Mi 16.10.2013 | | Autor: | chrisno |
Da hast Du recht, ich war schlampig. Unterscheide zwischen der Ausströmgeschwindigkeit (in m/s) und dem Volumenstrom (in [mm] $m^3$/s).
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:55 Do 17.10.2013 | | Autor: | Gosset |
Ich komm leider trotzdem nicht weiter:
V...Volumensstrom [mm] m^3/s
[/mm]
c...Abflussgeschindigkeit (warum ist die nicht in m/s sondern [mm] m/s^2?)
[/mm]
A...Ausflussfläche [mm] m^2
[/mm]
F ... Zylinderfläche
-dH/dt *F = c(H)*A'
dH=(-c*A')/F
[mm] \integral_{3}^{h}{dH} =\integral_{0}^{10}{(-c*A')/F dt}
[/mm]
h=1,62m
d.H. x=3-1,62=1,38
Ich hoffe irgendjemand kann das bestätigen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:17 Do 17.10.2013 | | Autor: | chrisno |
> Ich komm leider trotzdem nicht weiter:
>
> V...Volumensstrom [mm]m^3/s[/mm]
> c...Abflussgeschindigkeit (warum ist die nicht in m/s
> sondern [mm]m/s^2?)[/mm]
Die hat die Einheit m/s. Wie kommst Du zu Deiner Aussage?
> A...Ausflussfläche [mm]m^2[/mm]
> F ... Zylinderfläche
>
> -dH/dt *F = c(H)*A'
Kontrolliere die Einheiten: [mm] $1\bruch{m}{s} \cdot m^2 \ne 1\bruch{m}{s}\cdot\bruch{m^2}{s}$
[/mm]
>
mit
[mm] $-F\bruch{dh}{dt} [/mm] = c(h) [mm] \cdot [/mm] A(t)$
wird es besser. Nun wird c(h) eingesetzt:
[mm] $-F\bruch{dh}{dt} [/mm] = [mm] 0,61*\sqrt{2 g h} \cdot [/mm] A(t)$
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:34 Do 17.10.2013 | | Autor: | Gosset |
Danke für die Hilfe, ich hatte vergessen die Wurzel der Einheiten zu berücksichtigen und mich die ganze Zeit gefragt warum eine Geschwindigkeit in [mm] m^2/s^2 [/mm] gegeben ist ;)
So ergibt die Sache durchaus Sinn.
danke schön
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