Modulare Inverse < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:41 Fr 06.01.2012 | | Autor: | Jack159 |
| Aufgabe | Keine Aufgabe.
Ich verstehe folgende Definition zur Modularen Inverse nicht:
Sei m>1 und sei a eine ganze Zahl. Gibt es eine Zahl b, sodass
[mm] ab\equiv1 [/mm] (mod m),
so heißt a invertierbar modulo m und b heißt modulare Inverse von a.
Wir schreiben b=a^-1 (mod m) |
Hallo,
Die o.g. Definition verstehe ich nicht.
Hat jemand vielleicht ein kleines, kurzes und einfaches Beispiel parat, woran man die Modulare Inverse erklären kann?
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Nimm etwa [mm]m=9[/mm] und [mm]a=5[/mm]. Wir suchen dann eine Zahl [mm]b[/mm] mit
[mm]5b \equiv 1 \pmod 9[/mm]
Du kannst nun alle Zahlen modulo 9 für [mm]b[/mm] durchprobieren: 0,1,2,3,4,5,6,7,8, und du wirst feststellen, daß es eine Lösung gibt. Somit ist [mm]a=5[/mm] modulo 9 invertierbar.
Dagegen wirst du bei [mm]a=6[/mm] (und weiterhin [mm]m=9[/mm]) kein Glück haben. [mm]a=6[/mm] ist modulo 9 nicht invertierbar.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:44 Fr 06.01.2012 | | Autor: | Jack159 |
> Nimm etwa [mm]m=9[/mm] und [mm]a=5[/mm]. Wir suchen dann eine Zahl [mm]b[/mm] mit
>
> [mm]5b \equiv 1 \pmod 9[/mm]
>
> Du kannst nun alle Zahlen modulo 9 für [mm]b[/mm] durchprobieren:
> 0,1,2,3,4,5,6,7,8, und du wirst feststellen, daß es eine
> Lösung gibt. Somit ist [mm]a=5[/mm] modulo 9 invertierbar.
Die Lösung ist b=2, richtig?
[mm] 5*2\equiv1 [/mm] (mod 9)
[mm] 10\equiv1 [/mm] (mod 9)
>
> Dagegen wirst du bei [mm]a=6[/mm] (und weiterhin [mm]m=9[/mm]) kein Glück
> haben. [mm]a=6[/mm] ist modulo 9 nicht invertierbar.
Und wie genau wäre das ganze jetzt umkehrbar?
Kenne "umkehrbar" bisher nur von Funktionen. Aber das hier ist ja keine Funktion.
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> > Nimm etwa [mm]m=9[/mm] und [mm]a=5[/mm]. Wir suchen dann eine Zahl [mm]b[/mm] mit
> >
> > [mm]5b \equiv 1 \pmod 9[/mm]
> >
> > Du kannst nun alle Zahlen modulo 9 für [mm]b[/mm] durchprobieren:
> > 0,1,2,3,4,5,6,7,8, und du wirst feststellen, daß es eine
> > Lösung gibt. Somit ist [mm]a=5[/mm] modulo 9 invertierbar.
>
> Die Lösung ist b=2, richtig?
> [mm]5*2\equiv1[/mm] (mod 9)
> [mm]10\equiv1[/mm] (mod 9)
Hallo,
ja, genau.
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> >
> > Dagegen wirst du bei [mm]a=6[/mm] (und weiterhin [mm]m=9[/mm]) kein Glück
> > haben. [mm]a=6[/mm] ist modulo 9 nicht invertierbar.
>
> Und wie genau wäre das ganze jetzt umkehrbar?
> Kenne "umkehrbar" bisher nur von Funktionen. Aber das hier
> ist ja keine Funktion.
In solchen Fällen helfen die Definitionen weiter.
Wenn man eine Halbgruppe H mit neutralem Element e, ein Monoid, hat, dann heißt [mm] a\in [/mm] H invertierbar, wenn es in H ein Element b gibt mit ab=e.
Oben besteht Deine Halbgruppe aus den Restklassen modulo 9 mit der darauf definierten Multiplikation. Diese Struktur hat ein neutrales Element, nämlich die 1, und wie Du festgestellt hast, ist 2 das Inverse zu 5.
Weiter hast Du festgestellt, daß das Element 6 kein Inverses hat.
Gruß v. Angela
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