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| Aufgabe | [mm] n\ge [/mm] 2 eine natürliche Zahl.
Beweise:
a) Wenn n eine Primzahl ist, dann gilt: (n-1)! nicht aquivalent zu 0 mod n
b) Wenn n zusammengesetzt ist, dann gilt (n-1)! [mm] \equiv [/mm] 0 mod n |
das soll ich jeweils beweisen. Wie macht man das, also wie beweist man das? Über Tipps wäre ich dankbar!
Mathegirl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:43 So 20.11.2011 | | Autor: | hippias |
Mein Tip fuer Dich: $0 mod n$ bedeutet ja "teilbar durch $n$". Wenn also $n$ prim ist und ein Produkt teilt, dann muss $n$ auch was teilen? Wenn nun $n|(n-1)!= [mm] 1\ldots [/mm] (n-1)$ waere, koennte dann $n$ eine der Zahlen [mm] $1,\ldots, [/mm] n-1$ teilen?
Ist jedoch $n$ zusammengesetzt, so hat $n$ echte Teiler; z.B. $n= ab$ mit $a,b<n$. $a$ und $b$ kommen also unter den Zahlen [mm] $1,\ldots, [/mm] n-1$ vor, sodass nach einfacher Umformung von $(n-1)!$ sichtbar werden sollte, dass $(n-1)!$ ein Vielfaches von $n$ ist.
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n ein muss ein Produkt teilen und sich selbst bzw das Produkt muss eine Primzahl ergeben. Aber ich verstehe nicht wie ich dann a) und b) zeigen soll!
Bei a) ist (n-1)! keine Primzahl und b) ist (n-1)! eine primzahl.
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:29 So 20.11.2011 | | Autor: | hippias |
> n ein muss ein Produkt teilen und sich selbst bzw das
> Produkt muss eine Primzahl ergeben. Aber ich verstehe nicht
> wie ich dann a) und b) zeigen soll!
zu a): Wenn $n$ eine Primzahl ist und $n|(n-1)!$ waere, dann muesste $n$ also einen der Faktoren von $(n-1)!$ teilen. Mache Dir klar, dass das nicht moeglich ist.
zu b): Ueberleg Dir, dass die beiden Zahlen, die ich $a$ und $b$ genannt habe, in $(n-1)!$ stecken und damit auch $n$ selber.
>
> Bei a) ist (n-1)! keine Primzahl und b) ist (n-1)! eine
> primzahl.
Das wohl eher nicht.
>
> MfG
> Mathegirl
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Danke fürs erklären. ich habs verstanden, nur wie beweist man sowas? Ich könnte es an einem Beispiel zeigen, aber das zeigt ja nicht, dass das allgemein gilt. Ich habs verstanden, aber im Formulieren eines Beweises liegt mein Problem!
Mathegirl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:42 So 20.11.2011 | | Autor: | hippias |
Das ist wohl voellig normal, aber ueben hilft! Zeige Deinen Versuch und ich oder jemand anderes wird Dir weiterhelfen. Im Uebrigen: Gerne geschehen!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Di 22.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo Mathegirl,
da ist ja jetzt schon fast alles gesagt. Dem Hinweis und Angebot von hippias kann ich nur folgen: versuch mal, einen Beweis aufzuschreiben, dann helfen wir Dir gern weiter.
Die Aufgabe hat einen Schönheitsfehler: die Behauptung b) stimmt für eine einzige zusammengesetzte Zahl nicht, nämlich 4. Es ist [mm] (4-1)!\equiv 2\mod{4}.
[/mm]
Ansonsten musst Du bei der b) zeigen, dass jeder Primfaktor in der betrachteten Fakultät (die ja ein schlichtes Produkt ist) mindestens so oft vorkommt wie in n.
Und zu a) gibt es eine verschärfte Aussage, die - wie ich mich zu erinnern meine - erst Mitte des 20.Jahrhunderts von einem italienischen Mathematiker gefunden wurde. Genau dann, wenn p prim ist, ist [mm] (p-1)!\equiv -1\mod{p}, [/mm] und also auch [mm] (p-2)!\equiv 1\mod{p}.
[/mm]
Die musst Du jetzt allerdings nicht beweisen. 
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:50 Mo 21.11.2011 | | Autor: | felixf |
Moin rev,
> Und zu a) gibt es eine verschärfte Aussage, die - wie ich
> mich zu erinnern meine - erst Mitte des 20.Jahrhunderts von
> einem italienischen Mathematiker gefunden wurde. Genau
> dann, wenn p prim ist, ist [mm](p-1)!\equiv -1\mod{p},[/mm] und also
> auch [mm](p-2)!\equiv 1\mod{p}.[/mm]
das geht nicht auf einen italienischen Mathematiker zurueck, sondern auf einen arabischen, dem dieses Resultat bereits vor bereits ca. 1000 Jahren kannte. Es wurde im 18. Jahrhundert von einem englischen Mathematiker wiederentdeckt, und erst ein paar Jahre darauf von Lagrange bewiesen. Benannt ist es nach dem englischen Mathematiker. Offenbar gibt es auch Hinweise, dass er bereits einem Jahrhundert davor einem deutschen Mathematiker bekannt war (nein, Gauss war es nicht ).
> Die musst Du jetzt allerdings nicht beweisen.
Nunja, das tut er ja mehr oder minder in dieser Aufgabe (wenn man Teil b) hinzunimmt)
LG Felix
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