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Forum "Zahlentheorie" - Modulo & Satz von Fermat
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Modulo & Satz von Fermat: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:37 Mi 04.05.2011
Autor: el_grecco

Aufgabe
Sei [mm] $n_{1}=559,$ $n_{2}=561,$ $n_{3}=563.$ [/mm]

a) Berechnen Sie

[mm] $44^{n_{1}-1} \mbox{mod } n_{1}$ [/mm]   Hilfsmittel: [mm] $44^{4} \mbox{mod } n_{1}=1$ [/mm]


[mm] $67^{n_{2}-1} \mbox{mod } n_{2}$ [/mm]   Hilfsmittel: [mm] $67^{186} \mbox{mod } n_{2}=1$ [/mm]


[mm] $44^{n_{3}-1} \mbox{mod } n_{3}$ [/mm]   Hilfsmittel: [mm] $44^{187} \mbox{mod } n_{3}=4$ [/mm]

b) Satz von Fermat ("kleiner Fermat"): Für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit $n [mm] \ge [/mm] 2$ gilt: n Primzahl gdw. für alle $a [mm] \in \{1,...,n-1\}$ [/mm] gilt [mm] $a^{n-1}\mbox{mod } [/mm] n = 1$

Für welche der Zahlen [mm] $n_{1}, n_{2}, n_{3}$ [/mm] folgt aus den obigen Ergebnissen, dass die Zahl eine Primzahl ist? Für welche folgt, dass sie keine Primzahl ist?

Hallo,

es wäre sehr nett, wenn mir jemand erklären könnte, wie das Hilfsmittel in der a) zu verwenden ist, denn ich denke, dass man keinen Taschenrechner benutzen darf.

Bei der ersten Rechnung habe ich

[mm] $44^{558} \mbox{mod } [/mm] 559$ und als Hilfsmittel [mm] $44^{4} \mbox{mod } [/mm] 559=1$

Wie nutze ich nun aber das Hilfsmittel?


Vielen Dank für die Mühe und Unterstützung!

Gruß
el_grecco


        
Bezug
Modulo & Satz von Fermat: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:49 Mi 04.05.2011
Autor: rainerS

Hallo!

> Sei [mm]n_{1}=559,[/mm] [mm]n_{2}=561,[/mm] [mm]n_{3}=563.[/mm]
>  
> a) Berechnen Sie
>  
> [mm]44^{n_{1}-1} \mbox{mod } n_{1}[/mm]   Hilfsmittel: [mm]44^{4} \mbox{mod } n_{1}=1[/mm]
>  
>
> [mm]67^{n_{2}-1} \mbox{mod } n_{2}[/mm]   Hilfsmittel: [mm]67^{186} \mbox{mod } n_{2}=1[/mm]
>  
>
> [mm]44^{n_{3}-1} \mbox{mod } n_{3}[/mm]   Hilfsmittel: [mm]44^{187} \mbox{mod } n_{3}=4[/mm]
>  
> b) Satz von Fermat ("kleiner Fermat"): Für alle [mm]n \in \IN[/mm]
> mit [mm]n \ge 2[/mm] gilt: n Primzahl gdw. für alle [mm]a \in \{1,...,n-1\}[/mm]
> gilt [mm]a^{n-1}\mbox{mod } n = 1[/mm]
>  
> Für welche der Zahlen [mm]n_{1}, n_{2}, n_{3}[/mm] folgt aus den
> obigen Ergebnissen, dass die Zahl eine Primzahl ist? Für
> welche folgt, dass sie keine Primzahl ist?
>  Hallo,
>  
> es wäre sehr nett, wenn mir jemand erklären könnte, wie
> das Hilfsmittel in der a) zu verwenden ist, denn ich denke,
> dass man keinen Taschenrechner benutzen darf.
>  
> Bei der ersten Rechnung habe ich
>  
> [mm]44^{558} \mbox{mod } 559[/mm] und als Hilfsmittel [mm]44^{4} \mbox{mod } 559=1[/mm]
>  
> Wie nutze ich nun aber das Hilfsmittel?

Tipp: $558=4*139+2$, und es gilt natürlich

[mm] a^{n_1+n_2} \bmod n = ((a^{n_1} \bmod n)*(a^{n_2} \bmod n)) \bmod n [/mm] .

Viele Grüße
   Rainer

Bezug
                
Bezug
Modulo & Satz von Fermat: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:28 Mi 04.05.2011
Autor: el_grecco

Aufgabe
Sei $ [mm] n_{1}=559, [/mm] $ $ [mm] n_{2}=561, [/mm] $ $ [mm] n_{3}=563. [/mm] $

a) Berechnen Sie

$ [mm] 44^{n_{1}-1} \mbox{mod } n_{1} [/mm] $   Hilfsmittel: $ [mm] 44^{4} \mbox{mod } n_{1}=1 [/mm] $


$ [mm] 67^{n_{2}-1} \mbox{mod } n_{2} [/mm] $   Hilfsmittel: $ [mm] 67^{186} \mbox{mod } n_{2}=1 [/mm] $


$ [mm] 44^{n_{3}-1} \mbox{mod } n_{3} [/mm] $   Hilfsmittel: $ [mm] 44^{187} \mbox{mod } n_{3}=4 [/mm] $

b) Satz von Fermat ("kleiner Fermat"): Für alle $ n [mm] \in \IN [/mm] $ mit $ n [mm] \ge [/mm] 2 $ gilt: n Primzahl gdw. für alle $ a [mm] \in \{1,...,n-1\} [/mm] $ gilt $ [mm] a^{n-1}\mbox{mod } [/mm] n = 1 $

Für welche der Zahlen $ [mm] n_{1}, n_{2}, n_{3} [/mm] $ folgt aus den obigen Ergebnissen, dass die Zahl eine Primzahl ist? Für welche folgt, dass sie keine Primzahl ist?

Hallo Rainer,

> Tipp: [mm]558=4*139+2[/mm], und es gilt natürlich
>  
> [mm]a^{n_1+n_2} \bmod n = ((a^{n_1} \bmod n)*(a^{n_2} \bmod n)) \bmod n[/mm]
> .

vielen Dank für die Hilfe. Das hat den Nagel genau auf den Kopf getroffen! ;-)

Es wäre sehr nett, wenn sich jemand bei Gelegenheit meinen Lösungsweg ansehen könnte, denn ich bin mir nicht sicher, ob ich die 139 einfach herausziehen und außerhalb der Klammer schreiben darf.

$ [mm] 44^{558} \mbox{mod } [/mm] 559 $ und als Hilfsmittel $ [mm] 44^{4} \mbox{mod } [/mm] 559=1 $

[mm] $44^{558} \mbox{ mod } [/mm] 559$

$= [mm] 44^{4*139+2} \mbox{ mod } [/mm] 559$

$= [mm] (44^{4*139}*44^{2}) \mbox{ mod } [/mm] 559$

$= [mm] ((44^{4} \mbox{ mod } 559)^{139}*(44^{2} \mbox{ mod } [/mm] 559)) [mm] \mbox{ mod } [/mm] 559$

$= [mm] (1^{139}*(1936 \mbox{ mod } [/mm] 559)) [mm] \mbox{ mod } [/mm] 559$

$= (1*259) [mm] \mbox{ mod } [/mm] 559$

$= 259$

> Viele Grüße
>     Rainer

Gruß
el_grecco


Bezug
                        
Bezug
Modulo & Satz von Fermat: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:53 Mi 04.05.2011
Autor: reverend

Hallo grec,

ja, so ist es komplett richtig.

[winken]
reverend


Bezug
                                
Bezug
Modulo & Satz von Fermat: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:18 Mi 04.05.2011
Autor: el_grecco

Hallo rev,

vielen Dank für die Korrektur, der Rest der Aufgabe war dann kein Problem mehr. ;-)


Gruß
el_grecco


Bezug
                                        
Bezug
Modulo & Satz von Fermat: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:24 Do 05.05.2011
Autor: reverend


> vielen Dank für die Korrektur

Aber das war doch gar nichts mehr zu korrigieren. [kopfkratz3]
Du hast Rainers Hinweise doch komplett befolgt. Alles gut also.

Gute Nacht,
le rev (mais pas le rêve)


Bezug
                                                
Bezug
Modulo & Satz von Fermat: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:28 Do 05.05.2011
Autor: el_grecco


> Aber das war doch gar nichts mehr zu korrigieren.
> [kopfkratz3]
>  Du hast Rainers Hinweise doch komplett befolgt. Alles gut
> also.

Mit "Korrektur" meinte ich eher Durchlesen/Anschauen/Suchen nach Fehlern/... . Wenn die Korrektur einer Klausur abgeschlossen ist, kann es ja vorkommen, dass man keinen Fehler gefunden hat. Naja mir gefällt der Begriff auch nicht, aber für mein Sprachgedächtnis war es wohl doch schon zu spät. [saumuede]

> Gute Nacht,
>  le rev (mais pas le rêve)

Bonne blague! ;-)
l'el_grecco


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