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| Aufgabe | In der komplexen Ebene betrachte man eine geometrische Figur F′, die aus zwei Geraden und einem Kreis besteht, nämlich aus der reellen und der imaginären Achse sowie aus dem im Ursprung zentrierten Einheitskreis.
Finden Sie eine geometrische Figur F, welche aus zwei Kreisen und einer Geraden besteht, nämlich aus dem im Ursprung zentrierten Einheitskreis, einem weiteren Kreis mit Radius 1, dessen Mittelpunkt im ersten Quadranten liegt, und einer Geraden, sowie eine Möbius-Transformation T , so dass T(F) = F′ gilt.
Anfallende Rechnungen mit komplexen Zahlen dürfen Sie mit elektronischer Hilfe erledigen. |
Hallo,
Ich weiß nicht, wie ich anfangen soll.Ich bitte um Hilfe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Gruß
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In [mm]F'[/mm] schneiden sich die Geraden unter 90°. Ebenso schneiden die Geraden den Kreis unter 90°. Das muß, da Möbiustransformationen Winkel erhalten, also auch in [mm]F[/mm] so sein. Ein Kreis [mm]k_1[/mm], der Einheitskreis, ist bereits vorgegeben. Der noch zu bestimmende zweite Kreis [mm]k_2[/mm] vom selben Radius mit dem Mittelpunkt im I. Quadranten muß daher [mm]k_1[/mm] ebenfalls unter 90° schneiden. Da gibt es mehrere Möglichkeiten (man kann [mm]k_2[/mm] ja um den Ursprung drehen, ohne daß der Schnittwinkel sich ändert). Es bietet sich an, eine möglichst symmetrische Lage im I. Quadranten zu wählen. Was hätte dann [mm]k_2[/mm] für einen Mittelpunkt?
Dann könnte man versuchen, [mm]k_1[/mm] auf die reelle Achse und [mm]k_2[/mm] auf die imaginäre Achse abzubilden. Die Schnittpunkte der Kreise müssen dann auf die Schnittpunkte der Geraden (das sind die Punkte [mm]0[/mm] und [mm]\infty[/mm]) abgebildet werden.
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