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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:00 Mo 30.03.2009 | | Autor: | jeensg |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Kann mir jemand beim Verstaendnis von folgendem Beweis helfen, ich versteh leider den letzten Schritt nicht, der da gemacht wird. Es geht um die klassische Möbiusinversion die im Buch von Nicolae Negoescu so bewiesen wird. Meiner Ansicht nach muesste am Ende des Beweises F(n) stehen, da man nicht nur (4.3), sondern auch (4.8) noch einmal nutzen muss, nicht!? Ich verstehe nicht wie man auf f(n) kommt, was aber logischerweise rauskommen muss :-(
Seien $f,F: [mm] \IN^* \to \IR [/mm] $ zahlentheoretische Funktionen. Dann gilt:
F(n) = [mm] \summe_{k \mid n} [/mm] f(k) [mm] \quad \forall\, [/mm] n [mm] \in \IN^* [/mm]
[mm] \Leftrightarrow \quad [/mm] f(n) = [mm] \summe_{k \mid n} \mu \Bigl(\frac{n}{k}\Bigr) \cdot [/mm] F(k) [mm] \quad \forall\, [/mm] n [mm] \in \IN^* [/mm]
[Beweis] (4.8) (erste Gleichung) $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ (4.9) (zweite Gleichung)
[mm] $\forall\, [/mm] n [mm] \in \mathbb N^*:\quad \sum \limits_{k \mid n} \mu(\frac{n}{k}) \cdot [/mm] F(k) [mm] \stackrel{\mathrm{(4.8)}}= \sum \limits_{k \mid n} \Bigl[\mu \bigl(\frac{n}{k}\bigr) \sum \limits_{m \mid k} [/mm] f(m) [mm] \Bigr] \stackrel{\mathrm{(E)}}= \sum \limits_{m \mid n} \Bigl[f(m) \sum \limits_{l \mid {\frac{n}{m}}} \mu \Bigl(\frac{n}{lm}\Bigr) \Bigr] [/mm] = [mm] \sum \limits_{m \mid n} \Bigl[f(m) \sum \limits_{l \mid {\frac{n}{m}}} \mu [/mm] (l) [mm] \Bigr] \stackrel{\mathrm{(4.3)}}= [/mm] f(n)$
Die Gleichheit (E) exisitiert, da aus [mm] $m\mid [/mm] k$ und [mm] $k\mid [/mm] n$ folgt, dass [mm] $m\mid [/mm] n$. Des Weiteren läuft $k$ für ein festes $m$ von $m, 2m, 3m, [mm] \ldots$ [/mm] bis [mm] $\frac{n}{m} [/mm] m = n$, die alle $n$ teilen. Deshalb ist $k = lm$, wobei [mm] $l\mid \frac{n}{m}$.
[/mm]
4.3 bezeichnet hier die summatorische Funktion der Möbiusfunktion:
[mm] \[\sum_{d\mid n}\mu(n) [/mm] = [mm] \begin{cases}
1 & \text{ für } n = 1\\
0, & \text{ für } n \in \mathbb N^* \setminus\{1\},
\end{cases}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:41 Mo 30.03.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Kann mir jemand beim Verstaendnis von folgendem Beweis
> helfen, ich versteh leider den letzten Schritt nicht, der
> da gemacht wird. Es geht um die klassische Möbiusinversion
> die im Buch von Nicolae Negoescu so bewiesen wird. Meiner
> Ansicht nach muesste am Ende des Beweises F(n) stehen, da
> man nicht nur (4.3), sondern auch (4.8) noch einmal nutzen
> muss, nicht!? Ich verstehe nicht wie man auf f(n) kommt,
> was aber logischerweise rauskommen muss :-(
>
> Seien [mm]f,F: \IN^* \to \IR[/mm] zahlentheoretische Funktionen.
> Dann gilt:
>
> F(n) = [mm]\summe_{k \mid n}[/mm] f(k) [mm]\quad \forall\,[/mm] n [mm]\in \IN^*[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow \quad[/mm] f(n) = [mm]\summe_{k \mid n} \mu \Bigl(\frac{n}{k}\Bigr) \cdot[/mm]
> F(k) [mm]\quad \forall\,[/mm] n [mm]\in \IN^*[/mm]
>
> [Beweis] (4.8) (erste Gleichung) [mm]\Rightarrow[/mm] (4.9) (zweite
> Gleichung)
>
> [mm]\forall\, n \in \mathbb N^*:\quad \sum \limits_{k \mid n} \mu(\frac{n}{k}) \cdot F(k) \stackrel{\mathrm{(4.8)}}= \sum \limits_{k \mid n} \Bigl[\mu \bigl(\frac{n}{k}\bigr) \sum \limits_{m \mid k} f(m) \Bigr] \stackrel{\mathrm{(E)}}= \sum \limits_{m \mid n} \Bigl[f(m) \sum \limits_{l \mid {\frac{n}{m}}} \mu \Bigl(\frac{n}{lm}\Bigr) \Bigr] = \sum \limits_{m \mid n} \Bigl[f(m) \sum \limits_{l \mid {\frac{n}{m}}} \mu (l) \Bigr] \stackrel{\mathrm{(4.3)}}= f(n)[/mm]
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> Die Gleichheit (E) exisitiert, da aus [mm]m\mid k[/mm] und [mm]k\mid n[/mm]
> folgt, dass [mm]m\mid n[/mm]. Des Weiteren läuft [mm]k[/mm] für ein festes [mm]m[/mm]
> von [mm]m, 2m, 3m, \ldots[/mm] bis [mm]\frac{n}{m} m = n[/mm], die alle [mm]n[/mm]
> teilen. Deshalb ist [mm]k = lm[/mm], wobei [mm]l\mid \frac{n}{m}[/mm].
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> 4.3 bezeichnet hier die summatorische Funktion der
> Möbiusfunktion:
> [mm]\[\sum_{d\mid n}\mu(n)[/mm] = [mm]\begin{cases}
1 & \text{ für } n = 1\\
0, & \text{ für } n \in \mathbb N^* \setminus\{1\},
\end{cases}[/mm]
Der letzte Schritt folgt sofort mit 4.3: damit fallen naemlich alle Terme weg, wo [mm] $\frac{n}{m} [/mm] > 1$ ist (da laut 4.3 die Summe ueber die Moebiusfunktion 0 ist), und nur der Term mit [mm] $\frac{n}{m} [/mm] = 1$ bleibt erhalten und dort ist die Summe 1: und da dann $m = n$ ist, bleibt also $f(n)$ ueber.
Die Gleichung 4.8 wird also nicht benoetigt fuer den letzten Schritt.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:34 Di 31.03.2009 | | Autor: | jeensg |
Oh man, stimmt :-D
Danke für die Antwort!!!
mfg cheens
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