Möbiustransformation < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:49 Fr 30.04.2010 | | Autor: | lilia25 |
| Aufgabe | a) Bestimmen Sie Möbiustransformation f, welche den offenen Einheitskreis bijektiv auf die Menge [mm] M=\{ z\in \IC : Im(z) < Re(z)\} [/mm] abbildet.
b) Es sei [mm] f(z)=\bruch{az+b}{cz+d} [/mm] mit [mm] a,b,c,d\in \IR [/mm] und ad-bc > 0. Zeigen Sie, dass die obere Halbebene auf sich selbst abbildet. |
Hallo, alle zusammen!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Konfrontiere gerade mit der Aufgabe.
a) habe ich gemacht, bin mir aber nicht sicher ob sie richtig ist. Würde mich sehr freuen, wenn sich jemand das angucken würde und die Fehler korregieren. Also: Ich habe mir überlegt, wenn ich mich entlang des Kreises im Gegenurzeigersinn bewegen würde, dann habe ich das Innere des Kreises auf der linken Seite, dass heißt also ich muss mich auf der Gerade (die geht durch den Ursprung und halbiert den ersten und den 3. Quadrant) von unten nach oben bewegen, damit ich die Menge, die unter der Gerade liegt auch auf der linken Seite habe. Dann habe ich 3 Punkte genommen auf dem Rand des Kreises -i,1,i ,sie sollten dann auf 0, 1 und [mm] \infty [/mm] abgebildet werden, und bilde den Doppelverhältnis damit:
[mm] DV(z,-i,1,i)=\bruch{(z+i)(1-i)}{(z-i)(1+i)}=\bruch{z(1-i)+(i+1)}{z(1+i)+(1-i)}. [/mm] Das muss gesuchte Möbisutransformation sein.
Was b) angeht, weiß ich nicht wie ich vorgehen sollte. Muss ich eine Abbildung konstruieren [mm] \Phi [/mm] : H [mm] \to [/mm] H, wobei [mm] \IH [/mm] obere Halbebene ist. Und dann gucken dass [mm] \Phi \circ \Phi^{-1}=Id? [/mm] Aber was ist das für eine Abbildung? Was ist Id? Ist das eine Einheitsmatrix?
Freue mich auf jede Antwort!!
Danke
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:47 Fr 30.04.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Ich versteh komplexe Analysis wahrscheinlich schlechter als du, ich hab aber die Aufgabe mit der Halbebene schonmals "gesehen".
Zu zeigen ist T(H) = H. Man zeigt T(H) [mm] \subset [/mm] H und [mm] T^{-1}(H) \subset [/mm] H
,woraus dann T(H) = H folgt.
Um das zu zeigen: die Komplexe Zahl in Real und Imaginärteil aufteilen und
die Bedingung dieser Determinante benutzen.
Hoffe das hilft...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:36 Sa 01.05.2010 | | Autor: | lilia25 |
Weiß mir keiner zu helfen??
Bitte, brauche Hilfe!!
Gruß
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Also, erstmal gucken wie uns die obere Halbebene an :
[mm] $\mathbb{H}=\{ z\in \IC : z=x+i y; x,y\in \IR , y>0\}$
[/mm]
Jetzt musst du zeigen, dass $ [mm] f(z)=\bruch{az+b}{cz+d}\in \mathbb{H}$ [/mm] wobei [mm] $z\in \mathbb{H}$.
[/mm]
Dazu setzt du am besten x+iy für z ein und rechnest den Imaginärteil von f(x+iy) aus.
Daraus folgt dann mit der Voraussetzung über a,b,c,d die Behauptung.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:45 Sa 01.05.2010 | | Autor: | lilia25 |
Hallo, Leute!!
Danke für Ihre Hilfe!! Mit dem Hinweis von qsxqsx habe ich die Aufgabe b) gelöst!!
Könntet ihr euch noch die Aufgabe a) angucken. Ich bin mir total unsicher ob ich es richtig gemacht habe.
Vielen Dank
gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:33 Sa 01.05.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo, Leute!!
> Danke für Ihre Hilfe!! Mit dem Hinweis von qsxqsx habe
> ich die Aufgabe b) gelöst!!
> Könntet ihr euch noch die Aufgabe a) angucken. Ich bin
> mir total unsicher ob ich es richtig gemacht habe.
Es stimmt nicht, denn deine Möbiustransformation bildet die Kreislinie auf die reelle Achse ab. Das kannst du explizit nachrechnen, in dem du $z=u+iv$ ansetzt und den Imaginärteil von
[mm]DV(z,-i,1,i)=\bruch{(z+i)(1-i)}{(z-i)(1+i)}=\bruch{z(1-i)+(i+1)}{z(1+i)+(1-i)}[/mm]
bestimmst.
Dein Fehler liegt in der Wahl der Punkte: der Rand der Menge $ [mm] M=\{ z\in \IC : Im(z) < Re(z)\} [/mm] $ ist die Winkelhalbierende $Im(z) = Re(z)$, da liegt der Punkt 1 nicht drauf.
Aber du bist schon einen großen Schritt vorwärtsgekommen: du hast den Einheitskreis auf die obere Halbebene abgebildet. Durch eine einfache Drehung um [mm] $45^\circ$ [/mm] kannst du die obere Halbebene auf die Menge $M$ abbilden. Die Komposition deiner Möbiustransformation und dieser Drehung bekommst du die gesuchte Abbildung.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:24 So 02.05.2010 | | Autor: | lilia25 |
Hallo, Rainer
Danke für die Antwort!
> > Hallo, Leute!!
> > Danke für Ihre Hilfe!! Mit dem Hinweis von qsxqsx habe
> > ich die Aufgabe b) gelöst!!
> > Könntet ihr euch noch die Aufgabe a) angucken. Ich bin
> > mir total unsicher ob ich es richtig gemacht habe.
>
> Es stimmt nicht, denn deine Möbiustransformation bildet
> die Kreislinie auf die reelle Achse ab. Das kannst du
> explizit nachrechnen, in dem du [mm]z=u+iv[/mm] ansetzt und den
> Imaginärteil von
>
> [mm]DV(z,-i,1,i)=\bruch{(z+i)(1-i)}{(z-i)(1+i)}=\bruch{z(1-i)+(i+1)}{z(1+i)+(1-i)}[/mm]
>
> bestimmst.
>
> Dein Fehler liegt in der Wahl der Punkte: der Rand der
> Menge [mm]M=\{ z\in \IC : Im(z) < Re(z)\}[/mm] ist die
> Winkelhalbierende [mm]Im(z) = Re(z)[/mm], da liegt der Punkt 1 nicht
> drauf.
>
> Aber du bist schon einen großen Schritt vorwärtsgekommen:
> du hast den Einheitskreis auf die obere Halbebene
> abgebildet. Durch eine einfache Drehung um [mm]45^\circ[/mm] kannst
> du die obere Halbebene auf die Menge [mm]M[/mm] abbilden. Die
> Komposition deiner Möbiustransformation und dieser Drehung
> bekommst du die gesuchte Abbildung.
Ich habe die Abbildung des Einheitskreises auf die obere Halbebene in Internet gefunden, da steht: Möbiustransformation [mm] f(z)=i\bruch{1+z}{1-z}
[/mm]
Und sie sieht ganz anders als die meine. Ich verstehe aber nicht wie man es bestimmt.
Und noch eine Frage: ist die Drehung der Möbiustransformation um 45° das Multiplizieren von DV(z,1,i,-1) mit [mm] \bruch{\wurzel{2}}{2}+i\bruch{\wurzel{2}}{2}?
[/mm]
Vielen Dank!!
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:24 So 02.05.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo, Rainer
> Danke für die Antwort!
> > > Hallo, Leute!!
> > > Danke für Ihre Hilfe!! Mit dem Hinweis von qsxqsx
> habe
> > > ich die Aufgabe b) gelöst!!
> > > Könntet ihr euch noch die Aufgabe a) angucken. Ich
> bin
> > > mir total unsicher ob ich es richtig gemacht habe.
> >
> > Es stimmt nicht, denn deine Möbiustransformation bildet
> > die Kreislinie auf die reelle Achse ab. Das kannst du
> > explizit nachrechnen, in dem du [mm]z=u+iv[/mm] ansetzt und den
> > Imaginärteil von
> >
> >
> [mm]DV(z,-i,1,i)=\bruch{(z+i)(1-i)}{(z-i)(1+i)}=\bruch{z(1-i)+(i+1)}{z(1+i)+(1-i)}[/mm]
> >
> > bestimmst.
> >
> > Dein Fehler liegt in der Wahl der Punkte: der Rand der
> > Menge [mm]M=\{ z\in \IC : Im(z) < Re(z)\}[/mm] ist die
> > Winkelhalbierende [mm]Im(z) = Re(z)[/mm], da liegt der Punkt 1 nicht
> > drauf.
> >
> > Aber du bist schon einen großen Schritt vorwärtsgekommen:
> > du hast den Einheitskreis auf die obere Halbebene
> > abgebildet. Durch eine einfache Drehung um [mm]45^\circ[/mm] kannst
> > du die obere Halbebene auf die Menge [mm]M[/mm] abbilden. Die
> > Komposition deiner Möbiustransformation und dieser Drehung
> > bekommst du die gesuchte Abbildung.
> Ich habe die Abbildung des Einheitskreises auf die obere
> Halbebene in Internet gefunden, da steht:
> Möbiustransformation [mm]f(z)=i\bruch{1+z}{1-z}[/mm]
> Und sie sieht ganz anders als die meine. Ich verstehe aber
> nicht wie man es bestimmt.
Die ist gar nicht so viel anders als deine, denn deine ist
[mm] \bruch{z(1-i)+(i+1)}{z(1+i)+(1-i)} = \bruch{1-i}{1+i} * \bruch{z+\bruch{1+i}{1-i}}{z+\bruch{1-i}{1+i}} = -i \bruch{z+i}{z-i}[/mm]
(wegen [mm] $\bruch{1-i}{1+i} [/mm] = -i$ und [mm] $\bruch{1+i}{1-i} [/mm] = i$).
Wenn du jetzt noch bedenkst, dass die Möbiustransformation [mm] $z\mapsto [/mm] iz$ den Einheitskreis auf sich selbst abbildet, dann siehst du dass die Komposition der beiden die gesuchte Form ergibt:
[mm] -i \bruch{(iz)+i}{(iz)-i} = i\bruch{1+z}{1-z}[/mm].
> Und noch eine Frage: ist die Drehung der
> Möbiustransformation um 45° das Multiplizieren von
> DV(z,1,i,-1) mit
> [mm]\bruch{\wurzel{2}}{2}+i\bruch{\wurzel{2}}{2}?[/mm]
Ja, nur habe ich mich vertan: die Menge M besteht ja aus den Punkten unterhalb der Winkelhalbierenden $Re z = Im z$, nicht oberhalb. Also muss du eine weitere halbe Drehung machen, der Faktor ist dann
(EDIT: Korrektur)
[mm]-\bruch{1}{\sqrt{2}}(1+i)[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:41 So 02.05.2010 | | Autor: | math101 |
Hallo, Rainer!! Danke für deine schnelle Antwort!
> Ja, nur habe ich mich vertan: die Menge M besteht ja aus
> den Punkten unterhalb der Winkelhalbierenden [mm]Re z = Im z[/mm],
> nicht oberhalb. Also muss du eine weitere halbe Drehung
> machen, der Faktor ist dann
>
> [mm]-\bruch{1}{2}(1+i)[/mm]
Wie kommst du auf diesen Wert? Ich kann das nicht nachvollziehen. Wenn ich obere Halbebene als die Menge M darstellen möchte, dann muss ich dann die Halbebene um 225° drehen. Oder liege ich falsch?
Vielen Dank
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:14 So 02.05.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo, Rainer!! Danke für deine schnelle Antwort!
>
> > Ja, nur habe ich mich vertan: die Menge M besteht ja aus
> > den Punkten unterhalb der Winkelhalbierenden [mm]Re z = Im z[/mm],
> > nicht oberhalb. Also muss du eine weitere halbe Drehung
> > machen, der Faktor ist dann
> >
> > [mm]-\bruch{1}{2}(1+i)[/mm]
> Wie kommst du auf diesen Wert? Ich kann das nicht
> nachvollziehen.
Sorry, das sollte [mm]-\bruch{1}{\sqrt{2}}(1+i)[/mm] heißen.
> Wenn ich obere Halbebene als die Menge M
> darstellen möchte, dann muss ich dann die Halbebene um
> 225° drehen.
Richtig.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:21 So 02.05.2010 | | Autor: | lilia25 |
Super toll!! Danke Schön!!
GRuß
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