Möglichkeiten 16 auf 4 je 4... < Kombinatorik < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:16 Mi 09.10.2013 | | Autor: | jayw |
| Aufgabe | | Wieviele Möglichkeiten gibt es, 16 Fußballmannschaften auf 4 Gruppen mit jeweils 4 Mannschaften aufzuteilen?(Hierbei soll zwischen den 4 Gruppen nicht weiter unterschieden werden, d.h. sie werden allein durch die zu ihnen gehörenden Mannschaften bestimmt.) |
[mm] \bruch {{16 \choose 4}}{4} [/mm]
Ist das korrekt? Da es 16 über 4 Möglichkeiten gibt 16 Teams in 4 Gruppen aufzuteilen, hier allerdings nur die Möglichkeiten zu nehmen in denen 4 Teams in jeder Gruppe sind noch durch 4 teilen?
Mfg
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Wieviele Möglichkeiten gibt es, 16 Fußballmannschaften
> auf 4 Gruppen mit jeweils 4 Mannschaften
> aufzuteilen?(Hierbei soll zwischen den 4 Gruppen nicht
> weiter unterschieden werden, d.h. sie werden allein durch
> die zu ihnen gehörenden Mannschaften bestimmt.)
> [mm]\bruch {{16 \choose 4}}{4}[/mm]
>
> Ist das korrekt?
Nein, nicht korrekt.
> Da es 16 über 4 Möglichkeiten gibt 16
> Teams in 4 Gruppen aufzuteilen,
Auch das ist falsch.
> hier allerdings nur die
> Möglichkeiten zu nehmen in denen 4 Teams in jeder Gruppe
> sind noch durch 4 teilen?
>
Für die erste Gruppe gibt es [mm] \vektor{16\\4} [/mm] Möglichkeiten. Wie viele sind es dann für die zweite, dritte und vierte? Was muss man wohl mit diesen Zahlen noch tun?
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:19 Mi 09.10.2013 | | Autor: | jayw |
> Hallo,
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> > Wieviele Möglichkeiten gibt es, 16 Fußballmannschaften
> > auf 4 Gruppen mit jeweils 4 Mannschaften
> > aufzuteilen?(Hierbei soll zwischen den 4 Gruppen nicht
> > weiter unterschieden werden, d.h. sie werden allein
> durch
> > die zu ihnen gehörenden Mannschaften bestimmt.)
> > [mm]\bruch {{16 \choose 4}}{4}[/mm]
> >
> > Ist das korrekt?
>
> Nein, nicht korrekt.
>
> > Da es 16 über 4 Möglichkeiten gibt 16
> > Teams in 4 Gruppen aufzuteilen,
>
> Auch das ist falsch.
>
> > hier allerdings nur die
> > Möglichkeiten zu nehmen in denen 4 Teams in jeder
> Gruppe
> > sind noch durch 4 teilen?
> >
>
> Für die erste Gruppe gibt es [mm]\vektor{16\\4}[/mm]
> Möglichkeiten. Wie viele sind es dann für die zweite,
> dritte und vierte? Was muss man wohl mit diesen Zahlen noch
> tun?
[mm]{16 \choose 4}*{12 \choose 4}*{8 \choose 4} [/mm]?
>
> Gruß, Diophant
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Hallo,
>
> [mm]{16 \choose 4}*{12 \choose 4}*{8 \choose 4} [/mm]?
>
Das ist richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Streng genommen könnte man
[mm] n=\vektor{16\\4}*\vektor{12\\4}*\vektor{8\\4}*\vektor{4\\4}
[/mm]
schreiben, was natürlich nichts ändert, aber bspw. in einer Klassenarbeit für den Korrigierenden klarer noch werden lässt, was dein Gedankengang ist.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:34 Mi 09.10.2013 | | Autor: | jayw |
Vielen Dank, auch für die Hilfe mit der Skataufgabe ;)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:34 Mi 09.10.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo Diophant und jayw,
Moment noch.
> >
> > [mm]{16 \choose 4}*{12 \choose 4}*{8 \choose 4} [/mm]?
> >
>
> Das ist richtig.
Noch nicht ganz, siehe unten.
> Streng genommen könnte man
>
> [mm]n=\vektor{16\\4}*\vektor{12\\4}*\vektor{8\\4}*\vektor{4\\4}[/mm]
>
> schreiben, was natürlich nichts ändert, aber bspw. in
> einer Klassenarbeit für den Korrigierenden klarer noch
> werden lässt, was dein Gedankengang ist.
Ja, sehr guter Hinweis.
Allerdings ist bei dieser Rechnung die Reihenfolge der Gruppen noch bedeutsam. Es macht also einen Unterschied, ob Andorra, Botswana, die Cayman-Inseln und Dubai zusammen die Gruppe A,B,C oder D bilden.
Also muss das Ergebnis noch durch 4! geteilt werden.
Grüße
reverend
>
> Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:39 Mi 09.10.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> Hallo Diophant und jayw,
>
> Moment noch.
>
> > >
> > > [mm]{16 \choose 4}*{12 \choose 4}*{8 \choose 4} [/mm]?
> > >
> >
> > Das ist richtig.
>
> Noch nicht ganz, siehe unten.
>
> > Streng genommen könnte man
> >
> >
> [mm]n=\vektor{16\\4}*\vektor{12\\4}*\vektor{8\\4}*\vektor{4\\4}[/mm]
> >
> > schreiben, was natürlich nichts ändert, aber bspw. in
> > einer Klassenarbeit für den Korrigierenden klarer noch
> > werden lässt, was dein Gedankengang ist.
>
> Ja, sehr guter Hinweis.
> Allerdings ist bei dieser Rechnung die Reihenfolge der
> Gruppen noch bedeutsam. Es macht also einen Unterschied, ob
> Andorra, Botswana, die Cayman-Inseln und Dubai zusammen die
> Gruppe A,B,C oder D bilden.
>
> Also muss das Ergebnis noch durch 4! geteilt werden.
Ah, natürlich. Die Gruppen haben keine Nummern, das hatte ich übersehen.
Danke für die Korrektur!
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:42 Mi 09.10.2013 | | Autor: | jayw |
Hallo reverend,
[...]
> Allerdings ist bei dieser Rechnung die Reihenfolge der
> Gruppen noch bedeutsam. Es macht also einen Unterschied, ob
> Andorra, Botswana, die Cayman-Inseln und Dubai zusammen die
> Gruppe A,B,C oder D bilden.
>
> Also muss das Ergebnis noch durch 4! geteilt werden.
Dann war meine Idee durch 4 zu teilen ja garnicht so schlecht. Wie kommt man auf 4!? Kannst du das noch erklären? Mir erschließt sich jetzt nicht warum ich noch durch 24 (Möglichkeiten?) teilen muss.
> Grüße
> reverend
>
> >
> > Gruß, Diophant
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Hallo nochmal,
> [...]
> > Allerdings ist bei dieser Rechnung die Reihenfolge der
> > Gruppen noch bedeutsam. Es macht also einen Unterschied, ob
> > Andorra, Botswana, die Cayman-Inseln und Dubai zusammen die
> > Gruppe A,B,C oder D bilden.
> >
> > Also muss das Ergebnis noch durch 4! geteilt werden.
> Dann war meine Idee durch 4 zu teilen ja garnicht so
> schlecht.
Eben. Zumindest wolltest Du damit wohl berücksichtigen, dass das gleiche Ziehungsergebnis auf verschiedenen Wegen erreicht werden kann.
> Wie kommt man auf 4!? Kannst du das noch
> erklären? Mir erschließt sich jetzt nicht warum ich noch
> durch 24 (Möglichkeiten?) teilen muss.
Na, Deine bisherige Rechnung geht davon aus, dass die Gruppen in einer festen Reihenfolge gezogen werden, also z.B. erst Gruppe A, dann B,C,D.
Dabei kann nun das gleiche Ergebnis (da die Bezeichnung der Gruppen ja ganz unerheblich ist) eben auf 4! Weisen erreicht werden. Das kann man sich leicht verdeutlichen, wenn man die gleiche Aufgabe erst mit einer Gruppe (4 aus 4), dann mit zwei Gruppen (also je 4 aus 8) etc. durchläuft. Die in jedem Schritt hinzukommende Gruppe kann ja als erste oder letzte oder auch zwischen den bisherigen Gruppen gezogen werden, daher kommt in jedem Schritt ein neuer Faktor (im Nenner) dazu, der der Zahl der Gruppen entspricht.
Insgesamt also $1*2*3*4=4!$
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:11 Mi 09.10.2013 | | Autor: | jayw |
Super, das habe sogar ich verstanden ;) Vielen Dank!
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