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| Aufgabe | Die Zufallsvariable X besitze Momente aller Ordnungen, und es gelte
[mm] E(X^{n}) = C_{n} [/mm] mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}C_{n} = 0 [/mm]. Zeigen Sie, dass gilt [mm] P(|X| \le 1) = 1 [/mm]. |
Hallo zusammen!
Dazu hab ich mir folgendes überlegt:
Annahme: [mm] P(|X| \le 1) < 1 \Rightarrow P(|X| \ge 1) \not =0[/mm].
Aber mit der Markow Ungleichung und der Vorraussetzung folgt:
[mm] 0\not = P(|X| \ge 1) \le E(|X|^{s}) ?\le? \overline{\limes_{n\rightarrow\infty}} E(X^{n}) = \overline{\limes_{n\rightarrow\infty}} C_{n} = \limes_{n\rightarrow\infty}C_{n} = 0 [/mm]
Kann ich das so zeigen? Bei den Fragezeichen bin ich mir sehr unsicher!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:58 So 01.07.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Die Zufallsvariable X besitze Momente aller Ordnungen, und
> es gelte
> [mm][mm]E(X^{n})[/mm] = [mm]C_{n} [/mm][/mm] mit [mm][mm]\limes_{n\rightarrow\infty}C_{n}[/mm] = 0 [mm][/mm].[/mm] Zeigen Sie, dass gilt [mm]P(|X| [mm]\le[/mm] 1) = 1 [mm][/mm].[/mm][/mm][/mm][/mm]
> Hallo zusammen!
>
> Dazu hab ich mir folgendes überlegt:
>
> Annahme: [mm]P(|X| \le 1) < 1 \Rightarrow P(|X| \ge 1) \not =0[/mm].
Du kannst es auch direkt (ohne Widerspruch) beweisen, indem du zeigst, dass $P(|X| [mm] \ge [/mm] 1) = 0$ ist; daraus folgt dann ja $P(|X| [mm] \le [/mm] 1) = 1$ (bzw. sogar $P(|X| < 1) = 1$).
> Aber mit der Markow Ungleichung und der Vorraussetzung folgt:
>
> [mm] 0\not [/mm] = P(|X| [mm] \ge [/mm] 1) [mm] \le E(|X|^{s}) ?\le? \overline{\limes_{n\rightarrow\infty}} E(X^{n}) [/mm] = [mm] \overline{\limes_{n\rightarrow\infty}} C_{n} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}C_{n} [/mm] = 0[/mm]
>
> Kann ich das so zeigen? Bei den Fragezeichen bin ich mir sehr unsicher!
Die Stelle mit dem Fragezeichen gilt so nicht! Der Limes Superior eine Nullfolge ist ebenfalls Null. Allerdings bist du schon ziemlich nah dran an der Loesung:
Wenn du $s = 2 n$ setzt mit $n [mm] \in \IN$, [/mm] so hast du $P(|X| [mm] \ge [/mm] 1) [mm] \le E(|X|^s) [/mm] = [mm] E(|X|^{2 n}) [/mm] = [mm] E(X^{2 n}) [/mm] = [mm] C_{2 n}$, [/mm] da $X$ nur reelle Werte annimmt. Dies gilt fuer alle $n$, und da [mm] $C_{2 n} \to [/mm] 0$ fuer $n [mm] \to \infty$, [/mm] folgt $P(|X| [mm] \ge [/mm] 1) [mm] \le [/mm] 0$: also genau das was du zeigen willst.
LG Felix
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Danke für die schnelle Hilfe! Aber jetzt tut sich eine neue Frage auf! Wie kann ich das denn direkt zeigen? Ich hab doch überhaubt keine Dichtefunktion gegeben?! Oder mach ich dass irgendwie mithilfe der Erwartungswerte?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:29 So 01.07.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Danke für die schnelle Hilfe! Aber jetzt tut sich eine neue
> Frage auf! Wie kann ich das denn direkt zeigen? Ich hab
> doch überhaubt keine Dichtefunktion gegeben?! Oder mach ich
> dass irgendwie mithilfe der Erwartungswerte?
Du hast den direkten Beweis doch schon fast aufgeschrieben gehabt -- nur in ``versteckter Form'': um den Widerspruch ($P(|X| [mm] \ge [/mm] 1) > 0$ kann nicht sein) zu erzeugen, beweist du die Aussage (naemlich $P(|X| [mm] \ge [/mm] 1) = 0$) direkt. Aber dann brauchst du das gar nicht per Widerspruch aufzuschreiben, sondern kannst direkt den direkten Beweis der Aussage hinschreiben.
LG Felix
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Ja klar! Danke! Manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht! Vielen Dank!
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