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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:03 Fr 12.10.2018 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Die Zufallsvariable X mit den Werten in {0,1,2,...}
[fehlt hier vielleicht ein T??? also {0,1,2,... T} ]
habe [mm] G_X(T) [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}*(T*(1+T^2+T^3))
[/mm]
als Erzeugendenfunktion.
a) Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Varianz von X.
b) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion von X. |
Moin Moin,
zu a) würde ich denken
[mm] G_X(T) [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}*(T +T^3 +T^4)
[/mm]
[mm] G_X [/mm] ' (T) = [mm] \bruch{1}{3}*(1 +3*T^2 +4*T^3)
[/mm]
[mm] G_X [/mm] '' (T) = [mm] \bruch{1}{3}*(6*T +12*T^2)
[/mm]
E(X) = [mm] G_X [/mm] ' (0) = [mm] \bruch{1}{3}*(1 +3*0^2 +4*0^3) [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
V(X) = [mm] G_X [/mm] '' (0) - [mm] (G_X [/mm] ' [mm] (0))^2 [/mm]
V(X) = [mm] \bruch{1}{3} [/mm] - [mm] \bruch{1}{9} [/mm] = [mm] \bruch{2}{9}
[/mm]
richtig?
zu b) Gibt es einen Zusammenhang zwischen Erzeugendenfunktion und Verteilungsfunktion?
Hier fehlt mir ein Ansatz! ???
Danke für eure Hilfe!
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Hiho,
> Die Zufallsvariable X mit den Werten in {0,1,2,...}
>
> [fehlt hier vielleicht ein T??? also {0,1,2,... T} ]
Nein, dann würde es dastehen.
[mm] $\{0,1,2,...\}$ [/mm] ist einfach eine andere Notation für [mm] $\IN$, [/mm] wenn bei dir die 0 eine natürliche Zahl ist, oder [mm] $\IN_0 [/mm] = [mm] \IN \cup \{0\}$ [/mm] falls nicht.
Oder vereinfacht gesagt: X nimmt Werte in den natürlichen Zahlen an.
> habe [mm]G_X(T)[/mm] = [mm]\bruch{1}{3}*(T*(1+T^2+T^3))[/mm]
> als Erzeugendenfunktion.
Um hier weiterzumachen: Was ist bei euch die Erzeugendenfunktion? Die ![[]](/images/popup.gif) Momenterzeugende Funktion oder die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion.
Wenn [mm] G_X [/mm] die Momenterzeugende ist, ist dein Ansatz für a) korrekt und deine berechneten Werte stimmen soweit.
edit: Und [mm] G_X [/mm] ist gar keine Momenterzeugende… hast du die korrekt abgeschrieben?
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:56 Sa 13.10.2018 | | Autor: | hase-hh |
> Hiho,
>
> > Die Zufallsvariable X mit den Werten in {0,1,2,...}
> >
> > [fehlt hier vielleicht ein T??? also {0,1,2,... T} ]
> Nein, dann würde es dastehen.
> [mm]\{0,1,2,...\}[/mm] ist einfach eine andere Notation für [mm]\IN[/mm],
> wenn bei dir die 0 eine natürliche Zahl ist, oder [mm]\IN_0 = \IN \cup \{0\}[/mm]
> falls nicht.
>
> Oder vereinfacht gesagt: X nimmt Werte in den natürlichen
> Zahlen an.
Naja, es werden also die natürlichen Zahlen inklusive 0 betrachtet. Kein Problem.
Also könnte man auch schreiben: Die Zufallsvariable X nehme die Werte {0,1,2... n} an (mit n [mm] \in \IN).
[/mm]
> > habe [mm]G_X(T)[/mm] = [mm]\bruch{1}{3}*(T*(1+T^2+T^3))[/mm]
> > als Erzeugendenfunktion.
>
> Um hier weiterzumachen: Was ist bei euch die
> Erzeugendenfunktion? Die
> Momenterzeugende Funktion
> oder die
> wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion.
>
> Wenn [mm]G_X[/mm] die Momenterzeugende ist, ist dein Ansatz für a)
> korrekt und deine berechneten Werte stimmen soweit.
>
> edit: Und [mm]G_X[/mm] ist gar keine Momenterzeugende… hast du die
> korrekt abgeschrieben?
>
> Gruß,
> Gono
Ja, ich habe die Funktion richtig abgeschrieben; fand ich aber irgendwie merkwürdig.
Im Moment gehe ich davon aus, es ist eine Momenterzeugende Funktion gemeint, oder nicht?!?
Wie sieht es denn mit der Verteilungsfunktion aus???
Danke & Gruß!
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Hiho,
> Also könnte man auch schreiben: Die Zufallsvariable X
> nehme die Werte {0,1,2... n} an (mit n [mm]\in \IN).[/mm]
nein!
Ein solches [mm] $n\in \IN$ [/mm] muss es nicht geben.
Nimm bspw. folgendes Spiel: Du wirfst so lange eine Münze, bis Kopf fällt.
X sei die Anzahl an Würfen, die man braucht.
Dann gibt es kein [mm] $n\in\IN$ [/mm] so dass $X [mm] \in \{0,1,2,\ldots,n\}$ [/mm] gilt, aber offensichtlich gilt $X [mm] \in \IN$ [/mm] oder anders geschrieben: $X [mm] \in \{0,1,2,\ldots\}$
[/mm]
> Ja, ich habe die Funktion richtig abgeschrieben; fand ich
> aber irgendwie merkwürdig.
>
> Im Moment gehe ich davon aus, es ist eine Momenterzeugende
> Funktion gemeint, oder nicht?!?
G ist keine Momenterzeugende Funktion einer Verteilung…
> Wie sieht es denn mit der Verteilungsfunktion aus???
Daher ist die Frage hinfällig.
Gruß,
Gono
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