Monotomieverhalten < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:32 Mo 20.02.2006 | | Autor: | engel |
Woran erkennt man, dass folgende Funktion von - unendlich bis 3 streng monoton fallend ist und von 3 bis unendlich streng monoton steigend ist?
f(x) = (x-3)²
oder woran erkennt man die monotomie folgender Funktion?:
y= (3-x)(1+x)
bitte um hilfe!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:35 Mo 20.02.2006 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Engel!
Kennst Du schon Differentialrechnung bzw. Ableitungen von Funktionen?
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:45 Mo 20.02.2006 | | Autor: | engel |
nein. meine lehrerin hat die funktion immer gezeichnet und es dann darn irgendwie erkannt... nur wie?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:49 Mo 20.02.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Engel,
Ich vermute mal, ihr behandelt gerade das Thema  Parabeln, richtig?
Du weißt wahrscheinlich, dass eine nach oben geöffnete Parabel bis zu ihrem Scheitelpunkt streng monoton fallend ist und danach streng monoton steigend. Bei einer nach unten geöffneten Parabel ist es genau umgekehrt: Sie steigt bis zu ihrem Scheitelpunkt streng monoton und fällt danach (ebenfalls streng monoton).
Daraus ergeben sich zwei Fragen:
1. Woran erkennt man, ob eine Parabel nach unten oder nach oben geöffnet ist?
2. Wie bestimmt man den Scheitelpunkt einer Parabel?
Beginnen wir mal mit der zweiten Frage! 
Man muss dazu die Parabel auf die sogenannte Scheitelpunktform bringen, d.h. auf eine Form [mm] $a(x-d)^{2}+e$. [/mm] An dieser Form kann man den Scheitelpunkt ablesen, er hat die Koordinaten $(d,e)$.
Wie kann man aber deine beiden Parabeln auf Scheitelpunktform bringen?
Am einfachsten ist das bei deinem ersten Beispiel, denn das ist bereits in Scheitelpunktform. Wie lauten die Koordinaten des Scheitelpunkts der Parabel [mm] $f(x)=(x-3)^{2}$ [/mm] ?
Bei deinem zweiten Beispiel müssen wir allerdings noch etwas tun - wir brauchen dazu ein Hilfsmittel, die quadratische Ergänzung. Ich mach es dir mal an einem etwas anderen Beispiel vor: [mm] $f(x)=(4-x)\cdot(2+x)$:
[/mm]
[mm] $(4-x)\cdot(2+x)$
[/mm]
[mm] $=8+4x-2x-x^{2}$ [/mm] ausmultiplizieren
[mm] $=-x^{2}+2x+8$ [/mm] zusammenfassen
[mm] $=-(x^{2}-2x-8)$ [/mm] Minus ausklammern
[mm] $=-(x^{2}-2x\ \red{+1-1}-8)$ [/mm] quadratische Ergänzung
[mm] $=-((x-1)^{2}-1-8)$ [/mm] binomische Formel
[mm] $=-((x-1)^{2}-9)$ [/mm] zusammenfassen
[mm] $=-(x-1)^{2}+9$ [/mm] Klammer ausmultiplizieren - fertig!
Die Koordinaten des Scheitelpunktes sind (1,9).
Bei deinem Beispiel geht das ganz genauso - versuchs mal selbst!
Jetzt noch zur ersten Frage - woran sehe ich, ob eine Parabel nach oben oder nach unten geöffnet ist?
Das ist zum Glück ganz einfach: Sie ist nach oben geöffnet, wenn der Faktor $a$ der Scheitelpunktsform [mm] $a(x-d)^{2}+e$ [/mm] (also im obigen Beispiel $-1$) positiv ist, und sie ist nach unten geöffnet, wenn $a$ negativ ist.
Im obigen Beispiel haben wir es also mit einer nach unten geöffneten Parabel zu tun. Und wie sieht das bei deinen beiden Parabeln aus?
Hast du das soweit verstanden?
Ansonsten bitte nochmal nachfragen...
MFG,
Yuma
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:00 Mo 20.02.2006 | | Autor: | engel |
Danke!!
Wie wäre es bei dieser Aufgabe:
y= 1/4 x² -x
4y = x² - 4x
4y = x²-4x - 4 + 4
4y = (x-2)² - 4
y = 4(x-2)² - 1
das ist irgendwie falsch, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:07 Mo 20.02.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Engel,
ist eigentlich alles richtig, bis auf die letzte Umformung:
Du teilst durch $4$, d.h. vor der Klammer müsste [mm] $\bruch{1}{4}$ [/mm] stehen - war vielleicht nur ein Tippfehler?!
Weißt du jetzt, wie du die Monotonie erkennen kannst?
MFG,
Yuma
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:12 Mo 20.02.2006 | | Autor: | engel |
in meinem buch steht bei der aufgabe noch: [0;6] --> R
Der Scheitel ist dann ja 2|-1
dann ist die parabel auch noch nach oben geöffnet.
das heißt streng monoton fallend von 0 bis 2 und dann steigend bis 6
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:30 Mo 20.02.2006 | | Autor: | arual |
Hallo!
Vielleicht soll die zusätzliche Angabe das Intervall zum Zeichnen sein!?
War nur mal so ne Idee.
LG arual
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