Monotonie-Nachweis v. Folgen < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Untersuchen Sie die Folge [mm] (a_n) [/mm] auf Monotonie
a) [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{n}}
[/mm]
b) [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{1+5*n^{2}}{n(n+1)} [/mm] |
Hallo MatheForum!
Ich beschäftige mich immer noch mit der Monotonie von Folgen.
Mit obigen zwei Aufgaben habe ich ein Problem:
Bei a) vermute ich, dass [mm] (a_n) [/mm] streng monoton fällt.
Nachweis: [mm] a_n [/mm] > [mm] a_{n+1}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{\wurzel{n}} [/mm] > [mm] \bruch{1}{\wurzel{n+1}}
[/mm]
Das würde ich jetzt gerne vereinfachen.
Wie kann ich das am Besten machen?
Ist das hier möglich:
[mm] \bruch{1}{\wurzel{n}} [/mm] > [mm] \bruch{1}{\wurzel{n+1}} [/mm] | [mm] *\wurzel{n} *\wurzel{n+1}
[/mm]
Dann wäre ja mit
[mm] \wurzel{n+1} [/mm] > [mm] \wurzel{n}
[/mm]
die Vermutung bewiesen.
Aber ich glaube, dass ist nicht richtig, oder?
Zu Teilaufgabe b)
Hier habe ich einmal zu verinfachen versucht, bin mir jedoch nicht sicher, ob es stimmt.
Meine Vermutung ist, dass [mm] (a_n) [/mm] streng monoton steigt
Also muss nachgewiesen werden:
[mm] a_n [/mm] < [mm] a_{n+1}
[/mm]
[mm] \bruch{1+5*n^{2}}{n(n+1)} [/mm] < [mm] \bruch{1+5*(n+1)^{2}}{(n+1)*(n+2)} [/mm]
Nach dem ganzen Ausmultiplizieren bekomme ich heraus:
2 < [mm] 5n^{2} [/mm] + 3n
Für n [mm] \in \IN [/mm] * wäre damit die Vermutung bestätigt, oder?
Es wäre schön, wenn mir jemand helfen könnte.
Vor allem bei Teilaufg. a) !
Vielen Dank!
LG Eli
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Hi,
> Untersuchen Sie die Folge [mm](a_n)[/mm] auf Monotonie
> a) [mm]a_n[/mm] = [mm]\bruch{1}{\wurzel{n}}[/mm]
> b) [mm]a_n[/mm] = [mm]\bruch{1+5*n^{2}}{n(n+1)}[/mm]
> Hallo MatheForum!
>
> Ich beschäftige mich immer noch mit der Monotonie von
> Folgen.
> Mit obigen zwei Aufgaben habe ich ein Problem:
>
> Bei a) vermute ich, dass [mm](a_n)[/mm] streng monoton fällt.
> Nachweis: [mm]a_n[/mm] > [mm]a_{n+1}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{n}}[/mm] > [mm]\bruch{1}{\wurzel{n+1}}[/mm]
>
> Das würde ich jetzt gerne vereinfachen.
> Wie kann ich das am Besten machen?
>
> Ist das hier möglich:
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{n}}[/mm] > [mm]\bruch{1}{\wurzel{n+1}}[/mm] |
> [mm]*\wurzel{n} *\wurzel{n+1}[/mm]
> Dann wäre ja mit
> [mm]\wurzel{n+1}[/mm] > [mm]\wurzel{n}[/mm]
> die Vermutung bewiesen.
>
> Aber ich glaube, dass ist nicht richtig, oder?
>
Ja das geht so. Aud das selbe Ergebis wärst du gekommen wenn du beide Seiten quadriert hättest.
[mm] \bruch{1}{\wurzel{n}}>\bruch{1}{\wurzel{n+1}} \gdw (\bruch{1}{\wurzel{n}})²>(\bruch{1}{\wurzel{n+1}})² \rightarrow \bruch{1}{n}>\bruch{1}{n+1} \rightarrow \\n+1>n.
[/mm]
> Zu Teilaufgabe b)
> Hier habe ich einmal zu verinfachen versucht, bin mir
> jedoch nicht sicher, ob es stimmt.
> Meine Vermutung ist, dass [mm](a_n)[/mm] streng monoton steigt
> Also muss nachgewiesen werden:
> [mm]a_n[/mm] < [mm]a_{n+1}[/mm]
> [mm]\bruch{1+5*n^{2}}{n(n+1)}[/mm] <
> [mm]\bruch{1+5*(n+1)^{2}}{(n+1)*(n+2)}[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Nach dem ganzen Ausmultiplizieren bekomme ich heraus:
> 2 < [mm]5n^{2}[/mm] + 3n
>
Ich habs jetzt nicht nachgerechnet aber wenn das raus kommt dann hast du das gezeigt.
> Für n [mm]\in \IN[/mm] * wäre damit die Vermutung bestätigt, oder?
>
> Es wäre schön, wenn mir jemand helfen könnte.
> Vor allem bei Teilaufg. a) !
>
> Vielen Dank!
> LG Eli
>
>
>
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![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") Gruß
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Stimmt ja!
Ich bin ganz schön aus der Übung, was das Vereinfachen angeht!
Danke!
LG Eli
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