Monotonie < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
es sei a,b [mm] \in \IR [/mm] mit a < b und f:[a,b]->[a,b] eine monoton wachsende stetige
Funktion sowie [mm] x_0 \in [/mm] [a,b].
Die Folge [mm] (x_n)_{n\in\IN^0} [/mm] sei rekursiv definiert durch
[mm] x_{n+1} [/mm] := [mm] f(x_n) [/mm] für alle [mm] n\in\IN^0
[/mm]
Nun soll gezeigt werden, dass [mm] (x_n) [/mm] eine monoton wachsende oder fallende Folge ist.
Habe ich das richtig erkannt, dass [mm] (x_n) [/mm] eine monoton wachsende Folge ist?
Allerdings kann ich das mathematisch wohl noch nicht korrekt zeigen.
Also f ist monoton wachsend, d.h. x<y => f(x)<f(y).
[mm] x_1 [/mm] < [mm] x_2 [/mm] denn [mm] x_1 [/mm] = [mm] f(x_0) [/mm] < [mm] f(x_1) [/mm] = [mm] x_2
[/mm]
Hm, irgendwie irritiert mich, dass lediglich [mm] x_0 \in [/mm] [a,b] definiert ist.
Danke,
Anna
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:26 Mo 19.05.2008 | | Autor: | max3000 |
Nein, das hast du nicht richtig erkannt. Das "oder" hat eher die Bedeutung "entweder oder", das kommt ganz auf die Funktion f und auf die Wahl deines Punktes [mm] x_0 [/mm] an.
Für [mm] x_0\in[a,b] [/mm] kann [mm] f(x_0) [/mm] zum Beispiel schonmal kleiner als [mm] x_0 [/mm] sein.
Beispiel: [mm] f(x)=\bruch{1}{2}x [/mm] und [mm] x_0=\bruch{1}{2}
[/mm]
dann ist [mm] f(x_0)=x_1=\bruch{1}{4}
[/mm]
[mm] x_2=f(x_1)=\bruch{1}{8}, [/mm] und so weiter.
Verstehst du wie das gemeint ist?
Ich muss leider weg, ich versuche Später eine richtige Antwort zu finden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:31 Mo 19.05.2008 | | Autor: | Anna-Lyse |
Hallo max3000,
danke für Deine Antwort.
> Nein, das hast du nicht richtig erkannt. Das "oder" hat
> eher die Bedeutung "entweder oder", das kommt ganz auf die
> Funktion f und auf die Wahl deines Punktes [mm]x_0[/mm] an.
Das dachte ich auch zuerst (siehe die erste Version meiner Frage).
Also lag ich mit meiner ersten Vermutung doch richtig...
Gruß,
Anna
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Hallo,
aber wenn denn die Folge sowohl monoton wachsend oder monoton fallend sein kann,
wie ist das dann mit den Grenzwert.
Da die Folge ja konvergent ist liegt der Grenzwert in [a,b]. Korrekt?
Gruß,
Anna
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Hallo Anna,
das hast du richtig erkannt. [mm] x_n [/mm] ist monoton und beschränkt (entweder durch a oder durch b) und damit auch konvergent und es gilt [mm]a \le x_n \le b[/mm] und damit [mm]a \le \limes_{n\rightarrow\infty}x_n \le b[/mm]
MfG,
Gono.
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Hallo Gono,
danke für Deine Antwort. Aber genauer kann man den Grenzwert nicht
festlegen, weil man dafür ja eine konkretere Aussage über [mm] x_0 [/mm] benötigen
würde. Korrekt?
Gruß,
Anna
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Nicht nur [mm] x_0 [/mm] müsste man kennen, sondern auch (und das ist viel wichtiger) f muss bekannt sein.... um das Beispiel von oben aufzugreifen:
[mm]f(x) = \frac{1}{2}x[/mm]
Da ist der Startwert für die Konvergenz völlig egal 
Ist zwar nicht zwangweise so (beispielsweise bei der Identität), aber ohne f gehts gar nicht.
Gruß,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:55 Mo 19.05.2008 | | Autor: | Anna-Lyse |
Hallo Gono,
klar, auch und vor allen f - ich sehe es ein  DANKE!!
Gruß,
Anna
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Hallo,
und wenn ich nun zeigen möchte, dass
x = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_n [/mm] ein Fixpunkt von f ist, also f(x)=x gilt.
Wie setze ich da an? Ich denke mal, man nutzt da die stetigkeit von
f aus. Aber so ganz weiß ich nicht wie ich da korrekt vorgehe.
Danke,
Anna
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Also mir fallen da spontan 2 Wege ein:
1.) [mm]x = \limes_{n\rightarrow\infty} x_n[/mm]
Dann gilt: [mm]f(x) = ... [/mm] (Tip: Stetigkeit und Limes verhält sich wie? Es gilt: [mm]x_{n+1} = f(x_n)[/mm])
2.) Durch einen Widerspruch: Wenn [mm]f(x) \not= x \Longrightarrow f(x) < x \vee f(x) > x [/mm]
Wie kannst du dir dann aus der Tatsache, dass [mm]x = \limes_{n\rightarrow\infty} x_n[/mm] und der Monotonie von [mm] (x_n) [/mm] einen Widerspruch basteln?
MfG,
Gono.
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Hallo Gono,
ich würde es gerne hiermit probieren:
> 1.) [mm]x = \limes_{n\rightarrow\infty} x_n[/mm]
>
> Dann gilt: [mm]f(x) = ...[/mm] (Tip: Stetigkeit und Limes verhält
> sich wie? Es gilt: [mm]x_{n+1} = f(x_n)[/mm])
Irgendwie komme ich nicht weiter. Wenn ich [mm] f(x_n) [/mm] n gegen unendlich
gehen lasse, dann ist das gleich x = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_n.
[/mm]
Tja, aber das reicht doch so nicht?
Danke für weitere Tipps,
Anna
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Hallo Anna,
verzeih die späte Antwort.
Du hast richtig erkannt, es gilt:
[mm]f(x) = f(\limes_{n\rightarrow\infty}x_n) = \limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n) = \limes_{n\rightarrow\infty}x_{n+1} = x[/mm]
Warum sollte das so nicht gehen?
MfG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:22 Do 22.05.2008 | | Autor: | Gonozal_IX |
Die andere Methode wär halt über die Monotonie zu gehen, kurze Beweisskizze:
oBdA: [mm](x_n)[/mm] monoton fallend (anderer Fall analog), [mm]x = \limes_{n\rightarrow\infty}x_n[/mm]
Ann: [mm]f(x) \not= x[/mm]
1. Fall: [mm]f(x) > x[/mm] Widerspruch zur Monotonie
2. Fall [mm]f(x) < x \Longrightarrow \exists\varepsilon>0: x - f(x) > \varepsilon[/mm]
Nu gilt aufgrund der Monotonie für alle folgenden f(x) ebenfalls [mm]x - f(x) > \varepsilon[/mm] Dies ist ein Widerspruch zur Grenzwertannahme.
=> f(x) = x
MfG,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:39 Sa 24.05.2008 | | Autor: | Anna-Lyse |
Hallo Gono,
danke für Deine weitere Antwort! So ähnlich dachte ich mir das dann auch.
Gruß,
Anna
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