Monotonie < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:03 Di 05.05.2009 | | Autor: | Piatty |
| Aufgabe | | Ist die Folge [mm] \bruch{1*3*5*...*(2n.1)}{2*4*6*...*2n} [/mm] monoton? (für n [mm] \ge [/mm] 1) Begründe. |
Hallo,
Ich weiß nicht wie ich dies begründen kann, bzw. beweisen.
LG Janika
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:15 Di 05.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Fang mit den ersten paar Folgengliedern an, dann siehst du wie es laeuft. Wie machst du aus [mm] a_n a_{n+1} [/mm] wird es dabei immer kleiner, oder immer groesser? oder kannst du kuerzen?
Wenn man vor so ner Aufgabe steht und nix weiss, faengt man immer mal mit den ersten paar n an, dann sieht man ganz oft selbst, wie es weiter laeuft.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:29 Di 05.05.2009 | | Autor: | Piatty |
Hey
mir ist auch klar das ich das abschätzen kann. Aber wie beweise ich das denn???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:32 Di 05.05.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Piatty!
Bilde den Quotienten [mm] $\bruch{a_{n+1}}{a_n}$ [/mm] und fasse zusammen.
Ist dieser Term stets kleiner als 1, liegt fallende Monotonie vor (und umgekehrt).
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:42 Mo 11.05.2009 | | Autor: | Piatty |
Wenn ich dies so ausführe, komme ich auf steigende monotonie... aber das kann ja nciht sien! wo ist denn mein fehler?
[mm] \bruch{2n-1}{2n} [/mm] : [mm] \bruch{2n+1}{2n+2} [/mm] < 1
(2n-1)(2n+2) < (2n+1)(2n)
-2 < 0
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Hallo Janika,
> Wenn ich dies so ausführe, komme ich auf steigende
> monotonie... ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") aber das kann ja nciht sien!
Warum kann das nicht sein?
> wo ist denn mein
> fehler?
>
> [mm]\bruch{2n-1}{2n}[/mm] : [mm]\bruch{2n+1}{2n+2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
< 1
> (2n-1)(2n+2) < (2n+1)(2n)
> -2 < 0
Diese Rechnung verstehe ich nicht.
Es ist doch $a_{n+1}=\frac{1\cdot{}3\cdot{}5\cdot{}....\cdot{}(2(n+1)+1)}{2\cdot{}4\cdot{}6\cdot{}....\cdot{}(2(n+1))}=\frac{1\cdot{}3\cdot{}5\cdot{}....\cdot{}(2n+1)\cdot{}(2n+3)}{2\cdot{}4\cdot{}6\cdot{}....\cdot{}2n\cdot{}(2n+2)}$
Und $a_n=\frac{1\cdot{}3\cdot{}5\cdot{}....\cdot{}(2n+1)}{2\cdot{}4\cdot{}6\cdot{}....\cdot{}2n}$
Also $\frac{a_{n+1}}{a_n}=a_{n+1}\cdot{}\frac{1}{a_n}=\frac{\red{1\cdot{}3\cdot{}5\cdot{}....\cdot{}(2n+1)}\cdot{}(2n+3)}{\blue{2\cdot{}4\cdot{}6\cdot{}....\cdot{}2n}\cdot{}(2n+2)} \ \ \cdot{} \ \ \frac{\blue{2\cdot{}4\cdot{}6\cdot{}....\cdot{}2n}}{\red{1\cdot{}3\cdot{}5\cdot{}....\cdot{}(2n+1)}}$
$=\frac{2n+3}{2n+2}=1+\frac{1}{2n+2}>1$
Also $(a_n)_{n\in\IN$ monoton steigend
PS: Dabei bin ich von der Folge $(a_n)_{n\in\IN}$ mit $a_n=\frac{1\cdot{}3\cdot{}5\cdot{}....\cdot{}2n\red{+}1}{2\cdot{}4\cdot{}6\cdot{}....\cdot{}2n}$ ausgegangen.
Bei dir im ersten post steht da statt + ein Punkt
Falls da ein \blue{-} hin sollte, rechne das analog aus ...
Dann ist die Folge allerdings fallend, denn es bleibt etwas leicht anderes übrig ...
LG
schachuzipus
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