Monotonie am Scheitelpunkt < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:21 Di 27.02.2007 | | Autor: | dome |
| Aufgabe | | Ermitteln Sie das Monotonieverhalten der Funktion f(x)=x² |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Nach der letzten Mathe Klausur wurde sich bei uns an der Schule erneut über die Rolle der Null bei der Monotonie. Dafür eignet sich am besten das einfache Beispiel:
f(x)=x²
Dafür gab es schließlich mehrere Lösungen:
Die einen schließen die Null von der Betrachtung aus:
f(x) ist streng monoton steigent für x>0
f(x) ist streng monoton fallend für x<0
Eine Andere Möglichkeit ist, die Null einzubeziehen, aber dafür die Funktion jeweils nicht mehr als "streng monoton" zu bezeichnen.
f(x) ist monoton steigent für [mm] x\ge0
[/mm]
f(x) ist monoton fallend für [mm] x\le0
[/mm]
Die dritte Möglichkeit ist die Null einzubeziehen und die Funktion trotzdem als "streng monoton" zu bezeichnen.
f(x) ist streng monoton steigend für [mm] x\ge0
[/mm]
f(x) ist streng monoton fallend für [mm] x\le0
[/mm]
Die Definition besagt, das eine Funktion monoton steigend ist, wenn [mm] x_{1}
Nach dieser Definition ist die Null mit inbegriffen. Aber demnach gilt die Null als monoton steigend und als monoton fallend.
Andererseits kann man die Null vollständig ausschließen, aber wie ist dann die Null definiert?
Mich interessiert einfach, ob es dazu klare Definitionen gibt und welche Rolle dabei vielleicht das "streng" hat.
Vielen Dank
dome
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Hallo dome!
> Nach der letzten Mathe Klausur wurde sich bei uns an der
> Schule erneut über die Rolle der Null bei der Monotonie.
Was ist das denn für ein Satz? ![[kopfkratz2]](/images/smileys/kopfkratz2.gif "[kopfkratz2]")
Es gehört jetzt nicht speziell zur Monotonie, aber normalerweise macht man das mit Werten, die in zwei Intervalle passen könnten so, dass man es in genau eins dieser beiden reinpackt. In deinem Fall könnte man nun sagen, die Funktion ist im Intervall [mm] (-\infty,0] [/mm] streng monoton fallend und im Intervall [mm] (0,\infty) [/mm] streng monoton wachsend (wobei die eckige Klammer bedeutet, dass die Zahl davor noch im Intervall drin ist, und die runde, dass die Zahl gerade nicht mehr drin ist - da unendlich keine Zahl ist, wird sie definitionsgemäß nie in ein Intervall gepackt  ).
Verstehst du, was ich meine?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:03 Di 27.02.2007 | | Autor: | dome |
Vielen Danke fürs schnelle beantworten!!!
Tut mir leid, ich hatte am Anfang zwei verschiedene Sätze im Kopf und dann ist da nichts richtiges dabei rausgekommen (Deutsch Grundkurs )
es kommt noch ein "gestritten" dahinter. Aber ich denke das Problem war trotzdem erkennbar.
Ok, soweit erstmal klar.
Kann ich dann frei wählen, ob ich den Scheitelpunkt als fallend oder als steigend definiere oder ist das irgendwo festgelegt?
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Hallo dome!
> Kann ich dann frei wählen, ob ich den Scheitelpunkt als
> fallend oder als steigend definiere oder ist das irgendwo
> festgelegt?
Nein, das ist nirgendwo festgelegt, es ist egal.
Es gibt nur auch Funktionen, die nur abschnittsweise definiert sind, z. B. [mm] f(x)=\begin{cases} x^2-1, & \mbox{für } x\le 0 \\ x^2, & \mbox{für } x>0 \end{cases}.
[/mm]
Hier ist es dann wichtig, zu welchem Intervall die 0 gehört, aber es ergibt sich ja auch aus der Funktion.
Viele Grüße
Bastiane
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:15 Di 27.02.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
ich möchte auch etwas dazu sagen:
Für den Fall, dass du sagst, dass eine Funktion STRENG monton steigend oder fallend ist, darfst du in deinem Fall die 0 NICHT mit in das Intervall nehmen, denn dort liegt ja bei [mm] f(x)=x^2 [/mm] ein Tiefpunkt vor.
Der Graph von f ist nämlich nur von [mm] ]-\infty;0[ [/mm] STRENG monton fallend und von [mm] ]0;\infty[ [/mm] STRENG monoton steigend.
Würdest du die 0 in ein Intervall hineinnehmen, so müsstest du sagen: Es ist monoton fallend/steigend.
Was du nicht machen darfst: Die 0 in beide Bereiche mit reinnehmen.
Slaín,
Kroni
PS.: Es gibt nur die oben genannte Problematik. Ob man die Null nun mit reinnimmt, muss man selbst entscheiden.
Ich persönlich bevorzuge, die Null in beiden Intervallen auszuschließen, und dann von einer STRENGEN monotonie zu reden. Denn der Hochpunkt oder Tiefpunkt einer Funktion hat für mich so gesehen keine Monotonie, er IST der Hoch oder Tiefpunkt. Nun gibts noch den Sattelpunkt, da muss man dann selbst entscheiden.
Wie geasgt, ich lasse solche Punkt, an denen die Steigung 0 ist immer aus sämtlichen Intervallen raus.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:18 Di 27.02.2007 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Kroni!
> Für den Fall, dass du sagst, dass eine Funktion STRENG
> monton steigend oder fallend ist, darfst du in deinem Fall
> die 0 NICHT mit in das Intervall nehmen, denn dort liegt ja
> bei [mm]f(x)=x^2[/mm] ein Tiefpunkt vor.
>
> Der Graph von f ist nämlich nur von [mm]]-\infty;0[[/mm] STRENG
> monton fallend und von [mm]]0;\infty[[/mm] STRENG monoton steigend.
Wieso das denn??? Ein Tiefpunkt widerspricht doch nicht der strengen Monotonie!??
Viele Grüße
Bastiane
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:24 Di 27.02.2007 | | Autor: | Kroni |
Nein, das nicht Bastiane,
aber wenn ich ein Extremum mit ins Intervall reinnehme, darf ich nicht mehr sagen STRENG monoton, sondern nur noch monoton.
Ist in der Definition der Monotonie festgeschrieben.
STRENG Monoton fallend z.B. heißt ja, dass der Graph dort nur fällt.
Nehme ich nun aber dann z.B. den Tiefpunkt mit ins Intervall, so fällt der Graph dort ja nicht mehr, d.h. ich kann nicht sagen: Der Graph fällt im gesamten Intervall. Deshalb sagt man dann: Der Graph ist dort monoton fallend, wenn ich den Tiefpunkt mit in das Intervall mit reinnehme, in dem der Graph vorher auch fällt.
Es ist dort dann die Definition, die es dir verbietet, zu sagen:
[mm] ]-\infty;0] [/mm] => streng monoton fallend.
Hier darfst du nur von monoton fallend reden.
Slaín,
Kroni
PS: Manche halten sowas für Haarspalterei, aber ich denke, wenn man schon über solche Sachen redet, dann sollte man sich auch an die Definitionen halten.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:49 Di 27.02.2007 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Kroni!
> Ist in der Definition der Monotonie festgeschrieben.
> STRENG Monoton fallend z.B. heißt ja, dass der Graph dort
> nur fällt.
Hast du diese Definition vielleicht irgendwo stehen? Das habe ich nämlich noch nie gehört...
> Nehme ich nun aber dann z.B. den Tiefpunkt mit ins
> Intervall, so fällt der Graph dort ja nicht mehr, d.h. ich
> kann nicht sagen: Der Graph fällt im gesamten Intervall.
Meiner Meinung nach fällt der Graph bis in den Tiefpunkt hinein. Denn der Tiefpunkt ist ja schließlich auch nur ein Punkt, und wenn ich einen Punkt noch so kurz vor dem Tiefpunkt nehme, ist der Funktionswert an diesem Punkt größer als am Tiefpunkt selber. Warum sollte der Graph dann nicht bis zum Tiefpunkt hin fallen?
> PS: Manche halten sowas für Haarspalterei, aber ich denke,
> wenn man schon über solche Sachen redet, dann sollte man
> sich auch an die Definitionen halten.
Ja, das finde ich auch. Aber diese Definition kannte ich noch nicht.
Viele Grüße
Bastiane
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:57 Di 27.02.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi, hier ein ![[]](/images/popup.gif) Link zur Wikipedia, die meine Äußerung bestätigt.
Man gucke sich den Abschnitt DEFINITIONEN an.
Direkt aus einem Buch kann ich dir das nicht sagen, da ich das damals in der Elf (denke, es müsste in der Elf gewesen sein) gelernt habe, und wir das ein oder andere mal damals darauf aufmerksam gemacht wurden.
Viele Grüße,
Kroni
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> >
> > Link
> > zur Wikipedia, die meine Äußerung bestätigt.
> >
> > Man gucke sich den Abschnitt DEFINITIONEN an.
>
> . Ich bin allerdings der Meinung, dass das
> meine Aussage bestätigt. Dort steht doch nur, dass die
> Funktion streng monoton steigend ist, wenn gilt: [mm]a
> Und das gilt, wie ich vorhin bereits geschrieben hatte,
> meiner Meinung auch bei einem Tiefpunkt.
Hallo Bastiane,
ich bin Deiner Meinung, und es möchte ja wohl niemand ernsthaft bestreiten, daß [mm]a
Den Gegenbeweis anzutreten wäre jedenfalls schwierig...
Der Knackpunkt dürfte die Sache mit den Ableitungen sein, also die Frage: darf die Ableitung =0 sein?
Die Sache ist so: im Inneren des betrachteten Intervalls darf die Ableitung nicht=0 sein, wenn (zwangsläufif) strenge Monotonie folgen soll. An den Intervallgrenzen durchaus.
Die Def. für Monotonie haben wir ja oben stehen.
Dafür brauchen wir keinerlei Stetigkeit, Diffbarkeit oder sonstwas. Das hat damit absolut nichts zu tun.
Der Satz, der die Verbindung zur 1.Ableitung herstellt, geht so:
Sei f:[a,b] --> [mm] \IR [/mm] stetig und in ]a,b[ differenzierbar.
Wenn für alle x [mm] \in [/mm] ]a,b[ gilt f'(x)>0, so ist f in [a,b] streng monoton wachsend.
Ich denke, damit lösen sich Verwirrung und Widersprüche in Luft auf.
Gruß v. Angela
Edit zur Ergänzung:
aus den Voraussetzungen des Satzes folgt die Monotonie.
Die Umkehrung gilt nicht.
Nehmen wir [mm] f(x)=x^3.
[/mm]
Die Funktion ist streng monoton wachsend auf dem gesamten Definitionsbereich - obgleich ihre Ableitung an der Stelle 0 =0 ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:42 Mi 28.02.2007 | | Autor: | dome |
Danke für die interessante Diskussion.
Ich glaube, auf so etwas in der Art ist es bei mir in der Schule auch hinausgelaufen.
lg
dome
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