Monotonie bestimmen ohne Abl. < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:52 So 12.10.2014 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | In welchen Intervallen ist die folgenden Funktionen [mm] f:\IR\to \IR [/mm] monoton wachsen bzw. fallend.
[mm] f(x)=4x^3+3x^2-x+4 [/mm] |
Hallo
Wie bestimmte ich das Monotonieverhalten wenn ich es mittels Ableitungen noch nicht verwenden darf?
(f'(x)= [mm] 12x^2 [/mm] +6x -1 =0, [mm] x_{1,2} =\frac{-3 \pm \sqrt{21}}{12})
[/mm]
x=-2, f(-2)=-14
x=-1, f(-1)=4
x= - 1/2, f(-1/2)=5
x=0, f(0)=4
x=1, f(1)=10
x=2, f(2)=46
Ang [mm] x_1, x_2 \ge [/mm] 1
Wenn [mm] x_1 \le x_2
[/mm]
=> [mm] x_1^2 \le x_2^2 [/mm] (Muss ich da was beweisen?)
=> [mm] x_1^3 \le x_2^3 [/mm] (Muss ich da was beweisen?)
[mm] f(x_1) [/mm] - [mm] f(x_2)= 4(x_1^3 [/mm] - [mm] x_2^3) [/mm] + 3 [mm] *(x_1^2 [/mm] - [mm] x_2^2) \ge [/mm] 0
Auf [mm] [1,\infty] [/mm] ist f monoton wachsend.
Ang [mm] x_1,x_2 \le [/mm] 1
Wenn [mm] x_1 \le x_2
[/mm]
=> [mm] x_1^2 \ge x_2^2 [/mm] (Muss ich da was beweisen?)
=> [mm] x_1^3 \le x_2^3 [/mm] (Muss ich da was beweisen?)
[mm] f(x_1) [/mm] - [mm] f(x_2)= 4\overbrace{(x_1^3 - x_2^3)}^{\le0} [/mm] + 3 [mm] *\overbrace{(x_1^2 - x_2^2)}^{\ge0}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:05 So 12.10.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo sissile,
> In welchen Intervallen ist die folgenden Funktionen
> [mm]f:\IR\to \IR[/mm] monoton wachsen bzw. fallend.
> [mm]f(x)=4x^3+3x^2-x+4[/mm]
> Hallo
> Wie bestimmte ich das Monotonieverhalten wenn ich es
> mittels Ableitungen noch nicht verwenden darf?
> (f'(x)= [mm]12x^2[/mm] +6x -1 =0, [mm]x_{1,2} =\frac{-3 \pm \sqrt{21}}{12})[/mm]
Das willst du doch gerade nicht verwenden.
> x=-2, [mm] f\red{'}(-2)=-14
[/mm]
> x=-1, [mm] f\red{'}(-1)=4
[/mm]
> x= - 1/2, [mm] f\red{'}(-1/2)=5
[/mm]
> x=0, [mm] f\red{'}(0)=4
[/mm]
> x=1, [mm] f\red{'}(1)=10
[/mm]
> x=2, [mm] f\red{'}(2)=46
[/mm]
Hier meinst du überall die Ableitung. Ich habe es mal mit roter
Farbe verbessert. Die Zahlen habe ich nicht alle überprüft, aber
das sollte passen. Ich nehme mal an, dass du hier trotzdem die
Ableitung benutzt hast um dir einen Überblick zu verschaffen.
edit: Sorry, es war fast alles richtig. Es ist [mm] f(-\frac{1}{2})\not=5.
[/mm]
Ich zeige dir bei deiner ersten Rechnung die Fehler.
> Ang [mm]x_1, x_2 \ge[/mm] 1
> Wenn [mm]x_1 \le x_2[/mm]
> => [mm]x_1^2 \le x_2^2[/mm] (Muss ich da was
> beweisen?)
Das sollte, wegen [mm] $x_1,x_2\ge [/mm] 1$, klar sein.
> => [mm]x_1^3 \le x_2^3[/mm] (Muss ich da was beweisen?)
Das auch.
> [mm]f(x_1)[/mm] - [mm]f(x_2)= 4(x_1^3[/mm] - [mm]x_2^3)[/mm] + 3 [mm]*(x_1^2[/mm] - [mm]x_2^2) \ge[/mm]
> 0
Wie kommst du dadrauf? Natürlich dürfen wir mit
[mm] $f(x_1)-f(x_2)?0$
[/mm]
[mm] $\Longleftrightarrow\ldots\Longleftrightarrow\ldots\Longleftrightarrow x_1?x_2$
[/mm]
rechnen, aber am Ende interessiert uns nur
[mm] x_1?x_2
[/mm]
[mm] \Rightarrow\ldots\Rightarrow\ldots\Rightarrow f(x_1)-f(x_2)?0$.
[/mm]
Außerdem gilt
[mm] $x_1\le x_2\Rightarrow x_1-x_2\le [/mm] 0$
und damit haut deine Begründung oben leider nicht hin.
Wo ist eigentlich bei deinen Rechnungen [mm] $-x+4\$ [/mm] abgeblieben? 
Wir betrachten
[mm] $f\colon\IR\to\IR\colon x\mapsto 4x^3+3x^2-x+4$.
[/mm]
Auch wenn wir die Ableitung nicht benutzen dürfen können wir uns
damit einen Eindruck über die Abbildung machen und es wird klar,
welche Intervall wir betrachten müssen. Wir haben
$f'(x)=0$
[mm] $\Rightarrow x_{1,2} =\frac{-3 \pm \sqrt{21}}{12}$
[/mm]
mit dem Graphen [mm] $f\$
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Beachte, dass du eventuell begründen kannst, dass [mm] $f\$ [/mm] nur eine
Nullstelle besitzt. Also: Setze dir die Intervalle fest und dann
fängst du an mit
[mm] $x_1 [/mm] ? [mm] x_2$
[/mm]
und folgerst daraus
[mm] $f(x_1) [/mm] ? [mm] f(x_2)$,
[/mm]
wobei du, siehe oben, auch mit [mm] \gdw [/mm] arbeiten kannst, aber dann
am Ende Beachten musst, dass nur [mm] \Leftarrow [/mm] relevant ist.
Gruß
DieAcht
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:11 So 12.10.2014 | | Autor: | sissile |
Hallo ;))
> > x=-2, [mm]f\red{'}(-2)=-14[/mm]
> > x=-1, [mm]f\red{'}(-1)=4[/mm]
> > x= - 1/2, [mm]f\red{'}(-1/2)=5[/mm]
> > x=0, [mm]f\red{'}(0)=4[/mm]
> > x=1, [mm]f\red{'}(1)=10[/mm]
> > x=2, [mm]f\red{'}(2)=46[/mm]
>
> Hier meinst du überall die Ableitung. Ich habe es mal mit
> roter
> Farbe verbessert. Die Zahlen habe ich nicht alle
> überprüft, aber
> das sollte passen. Ich nehme mal an, dass du hier trotzdem
> die
> Ableitung benutzt hast um dir einen Überblick zu
> verschaffen.
Hab ich aber gar nicht...Sondern mit f(x) wie notiert.
> Wir betrachten
>
> [mm]f\colon\IR\to\IR\colon x\mapsto 4x^3+3x^2-x+4[/mm].
>
> Auch wenn wir die Ableitung nicht benutzen dürfen können
> wir uns
> damit einen Eindruck über die Abbildung machen und es
> wird klar,
> welche Intervall wir betrachten müssen. Wir haben
>
> [mm]f'(x)=0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow x_{1,2} =\frac{-3 \pm \sqrt{21}}{12}[/mm]
>
> mit dem Graphen [mm]f\[/mm]
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Beachte, dass du eventuell begründen kannst, dass [mm]f\[/mm] nur
> eine
> Nullstelle besitzt. Also: Setze dir die Intervalle fest
> und dann
> fängst du an mit
>
> [mm]x_1 ? x_2[/mm]
>
> und folgerst daraus
>
> [mm]f(x_1) ? f(x_2)[/mm],
>
> wobei du, siehe oben, auch mit [mm]\gdw[/mm] arbeiten kannst, aber
> dann
> am Ende Beachten musst, dass nur [mm]\Leftarrow[/mm] relevant ist.
Danke für das Aufzeigen der Fehler!
Also:
Fall1: [mm] x_1, x_2 \in ]-\infty, \frac{-3-\sqrt{21}}{24}]
[/mm]
Fall2: [mm] x_1, x_2 \in [\frac{-3-\sqrt{21}}{24}, \frac{-3+\sqrt{21}}{24}] [/mm]
Fall3: [mm] x_1, x_2 \in [\frac{-3+\sqrt{21}}{24}, \infty[
[/mm]
Fall 1)
Es sei [mm] x_1 \le x_2 [/mm] d.h. [mm] x_1 [/mm] - [mm] x_2 \le [/mm] 0
ZZ.: [mm] f(x_1) \le f(x_2), [/mm] d.h. [mm] f(x_1) [/mm] - [mm] f(x_2) \le [/mm] 0
[mm] f(x_1) [/mm] - [mm] f(x_2) =4(x_1)^3 [/mm] + [mm] 3(x_1)^2 [/mm] - [mm] x_1 [/mm] +4 - [mm] 4(x_2)^3 [/mm] - [mm] 3(x_2)^2 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] -4 = [mm] 4*((x_1)^3 [/mm] - [mm] (x_2)^3) [/mm] + [mm] 3((x_1)^2-(x_2)^2)-x_1+x_2
[/mm]
Ich könnte nun die 3te Binomische Formel anwenden:
[mm] ((x_1)^2 [/mm] - [mm] (x_2)^2)= (x_1 +x_2)*(x_1-x_2)
[/mm]
Hast du einen Rat?
LG,
sissi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:29 So 12.10.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Hab ich aber gar nicht...Sondern mit f(x) wie notiert.
Ja, du hast Recht. Beachte aber: [mm] f(-\frac{1}{2})\not=5.
[/mm]
> > [mm]f\colon\IR\to\IR\colon x\mapsto 4x^3+3x^2-x+4[/mm].
> > [mm]f'(x)=0[/mm]
> > [mm]\Rightarrow x_{1,2} =\frac{-3 \pm \sqrt{21}}{12}[/mm]
> >
> > mit dem Graphen [mm]f\[/mm]
> >
> > [Dateianhang nicht öffentlich]
> Also:
> Fall1: [mm]x_1, x_2 \in ]-\infty, \frac{-3-\sqrt{21}}{24}][/mm]
>
> Fall2: [mm]x_1, x_2 \in [\frac{-3-\sqrt{21}}{24}, \frac{-3+\sqrt{21}}{24}][/mm]
> Fall3: [mm]x_1, x_2 \in [\frac{-3+\sqrt{21}}{24}, \infty[[/mm]
>
>
> Fall 1)
> Es sei [mm]x_1 \le x_2[/mm] d.h. [mm]x_1[/mm] - [mm]x_2 \le[/mm] 0
> ZZ.: [mm]f(x_1) \le f(x_2),[/mm] d.h. [mm]f(x_1)[/mm] - [mm]f(x_2) \le[/mm] 0
[mm] $f\$ [/mm] ist doch im ersten Fall sogar streng monoton wachsend. Zu zeigen:
[mm] $f(x_1)
> [mm]f(x_1)[/mm] - [mm]f(x_2) =4(x_1)^3[/mm] + [mm]3(x_1)^2[/mm] - [mm]x_1[/mm] +4 - [mm]4(x_2)^3[/mm] -
> [mm]3(x_2)^2[/mm] + [mm]x_2[/mm] -4 = [mm]4*((x_1)^3[/mm] - [mm](x_2)^3)[/mm] +
> [mm]3((x_1)^2-(x_2)^2)-x_1+x_2[/mm]
> Ich könnte nun die 3te Binomische Formel anwenden:
> [mm]((x_1)^2[/mm] - [mm](x_2)^2)= (x_1 +x_2)*(x_1-x_2)[/mm]
>
> Hast du einen Rat?
Bislang ist alles richtig. Du hast dich also für die äquivalente
Umformung der Ungleichung entschieden, sodass du am Ende nur noch
rückwärts aufschreiben musst. Zu zeigen bleibt
[mm] 4(x_1^3-x_2^3)+3(x_1^2-x_2^2)-(x_1-x_2)\overset{!}{<}0.
[/mm]
Wir wissen:
[mm] $x_1
[mm] $\Rightarrow x_1-x_2<0$.
[/mm]
Jetzt bist du dran:
[mm] $(x_1^2-x_2^2)=(x_1+x_2)(x_1-x_2) \text{ ? } [/mm] 0$,
[mm] $(x_1^3-x_2^3)=(x_1-x_2)(x_1^2+x_1x_2+x_2^2) \text{ ? } [/mm] 0$.
Dann überlegst du weiter mit
[mm] 4(x_1-x_2)(x_1^2+x_1x_2+x_2^2)+3(x_1+x_2)(x_1-x_2)-(x_1-x_2)\overset{!}{<}0.
[/mm]
Ich habe das nun ehrlich gesagt auch noch nicht weiter überlegt,
da ich nicht der Fan von Brute-Force bin und mir alternativ über-
legt habe, dass wir aus Analysis I wissen, dass jede injektive
stetige Abbildung
[mm] \phi\colon\IR\to\IR
[/mm]
streng monoton ist. [mm] $f\$ [/mm] ist hier offensichtlich stetig und in
allen drei Teilintervalle jeweils injektiv. Mit anderen Worten:
Wir müssen nur noch zwei ungleiche Elemente aus den Teilinter-
vallen einsetzen um herauszufinden ob [mm] $f\$ [/mm] auf dem jeweiligen
Teilintervall streng monoton wächst oder fällt.
Ich frage mich auch ehrlich gesagt wie die Fragestellung gemeint
ist, denn wie begründet man die Eingrenzung der Teilintervalle
ohne die Betrachtung der Ableitung? Offensichtlich geht es dem
Ersteller dieser Frage darum den Satz über die Monotonie differen-
zierbarer reeller Funktionen nicht zu benutzen, aber darf man die
Ableitung für die Eingrenzung der Teilintervalle benutzen?
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:32 Mo 13.10.2014 | | Autor: | sissile |
Hallo
> Jetzt bist du dran:
>
> [mm](x_1^2-x_2^2)=(x_1+x_2)(x_1-x_2) \text{ ? } 0[/mm],
Also [mm] (x_1^2-x_2^2)=(x_1+x_2)(x_1-x_2) [/mm] > 0
> [mm](x_1^3-x_2^3)=(x_1-x_2)(x_1^2+x_1x_2+x_2^2) \text{ ? } 0[/mm].
Also [mm] (x_1^3-x_2^3)=(x_1-x_2)(x_1^2+x_1x_2+x_2^2)<0
[/mm]
> Dann überlegst du weiter mit
>
> [mm]4(x_1-x_2)(x_1^2+x_1x_2+x_2^2)+3(x_1+x_2)(x_1-x_2)-(x_1-x_2)\overset{!}{<}0.[/mm]
[mm] 4\overbrace{(x_1-x_2)(x_1^2+x_1x_2+x_2^2)}^{<0}+3\overbrace{(x_1+x_2)(x_1-x_2)}^{>0}-\overbrace{(x_1-x_2)}^{<0}< 3\overbrace{(x_1+x_2)(x_1-x_2)}^{>0}-\overbrace{(x_1-x_2)}^{<0}
[/mm]
> Ich habe das nun ehrlich gesagt auch noch nicht weiter
> überlegt,
> da ich nicht der Fan von Brute-Force bin und mir
> alternativ über-
> legt habe, dass wir aus Analysis I wissen, dass jede
> injektive
> stetige Abbildung
>
> [mm]\phi\colon\IR\to\IR[/mm]
>
> streng monoton ist. [mm]f\[/mm] ist hier offensichtlich stetig und
> in
> allen drei Teilintervalle jeweils injektiv. Mit anderen
> Worten:
> Wir müssen nur noch zwei ungleiche Elemente aus den
> Teilinter-
> vallen einsetzen um herauszufinden ob [mm]f\[/mm] auf dem
> jeweiligen
> Teilintervall streng monoton wächst oder fällt.
>
> Ich frage mich auch ehrlich gesagt wie die Fragestellung
> gemeint
> ist, denn wie begründet man die Eingrenzung der
> Teilintervalle
> ohne die Betrachtung der Ableitung? Offensichtlich geht es
> dem
> Ersteller dieser Frage darum den Satz über die Monotonie
> differen-
> zierbarer reeller Funktionen nicht zu benutzen, aber darf
> man die
> Ableitung für die Eingrenzung der Teilintervalle
> benutzen?
Ja glaub schon aber das Bsp ist aus der Einführung genommen und setzt Analysis dementsprechend nicht vorraus!
Es soll eine Übung sein um mit der Monotoniedefinition zu arbeiten.
Darf ich fragen wie du die Injektivität in den Teilintervallen zeigen würdest?
LG,
sissi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Mi 15.10.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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