Monotonie beweisen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:26 So 28.02.2010 | | Autor: | peeetaaa |
| Aufgabe | [mm] h:\IR\to\IR
[/mm]
[mm] h(x)=\begin{cases} x^{-2}, & \mbox{für } x>0 \mbox{ } \\ -x^2, & \mbox{für } x \le 0 \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
ist h monoton? |
Hallo zusammen,
soll hier ja beweisen, dass die Funktion monoton ist bzw. sie es nicht ist!
Aber wie zeige ich denn überhaupt, dass eine Funktion monoton ist?
Hätte gedacht, dass man bei den einzelnen Teilen der Funktion überprüfen muss, dass diese monoton sind aber ich weiß halt nicht wie ich sowas beweise!
kann mir das vllt jmd erklären?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:36 So 28.02.2010 | | Autor: | nooschi |
bei Monotonie muss folgendes gelten: $$x<y<z [mm] \Rightarrow h(x)\le h(y)\le [/mm] h(z)\ \ \ bzw. \ \ \ x<y<z [mm] \Rightarrow h(x)\ge h(y)\ge [/mm] h(z)$$
was du also suchen musst ist ein $x<y<z$ sodass $h(x)<h(y)>h(z)$. dann ist Monotonie ausgeschlossen. (Solche $x, y, z$ sind bei deiner Funktion auch tatsächlich auffindbar  )
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:32 So 28.02.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo peeetaaa!
Du kannst auch mit Hilfe der 1. Ableitung vorgehen, da gilt:
$$f'(x)>0 \ \ [mm] \Rightarrow [/mm] \ \ f \ [mm] \text{ist monoton steigend}.$$
[/mm]
$$f'(x)<0 \ \ [mm] \Rightarrow [/mm] \ \ f \ [mm] \text{ist monoton fallend}.$$
[/mm]
In Deinem Falle musst Du jedoch in zwei Teilfunktionen unterteilen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:34 Mo 01.03.2010 | | Autor: | peeetaaa |
okay hab das ganze jetzt mal mit der ersten Ableitung versucht:
hab h(x) in [mm] h_1(x)= [/mm] x^-2 und [mm] h_2(x)=-x^2 [/mm] aufgeteilt
dann
[mm] h_1'(x)= [/mm] -2x^-3 = [mm] \bruch{-2}{x^3}
[/mm]
und das heißt ja, dass [mm] h_1'(x) \le [/mm] 0 ist, also monoton fallend
und dann für
[mm] h_2'(x)= [/mm] -2x
und das heißt auch [mm] h_2('x)\le [/mm] 0, also auch monton fallend
stimmt das so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:44 Mo 01.03.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> okay hab das ganze jetzt mal mit der ersten Ableitung
> versucht:
>
> hab h(x) in [mm]h_1(x)=[/mm] x^-2 und [mm]h_2(x)=-x^2[/mm] aufgeteilt
> dann
> [mm]h_1'(x)=[/mm] -2x^-3 = [mm]\bruch{-2}{x^3}[/mm]
> und das heißt ja, dass [mm]h_1'(x) \le[/mm] 0 ist, also monoton
> fallend
Yep
> und dann für
> [mm]h_2'(x)=[/mm] -2x
> und das heißt auch [mm]h_2('x)\le[/mm] 0, also auch monton fallend
> stimmt das so?
Hier musst du nochmal drüber nachdenken, für [mm] x\red{\le}0 [/mm] ist [mm] h'(x)=-2x=\ldots
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:32 Mo 01.03.2010 | | Autor: | peeetaaa |
ach stimmt da ja [mm] h_2(x) [/mm] nur für x [mm] \le [/mm] 0 gilt
ist die Ableitung [mm] h_2'(x)= [/mm] -2x für x -Werte [mm] \le [/mm] 0
ist h'(x) [mm] \ge [/mm] 0 und deshalb monoton wachsend?
aber ist die gesamte Funktion h(x) dann trotzdem monoton obwohl ein Teil monoton fallend und der andere monoton wachsend ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:06 Mo 01.03.2010 | | Autor: | fred97 |
> ach stimmt da ja [mm]h_2(x)[/mm] nur für x [mm]\le[/mm] 0 gilt
> ist die Ableitung [mm]h_2'(x)=[/mm] -2x für x -Werte [mm]\le[/mm] 0
> ist h'(x) [mm]\ge[/mm] 0 und deshalb monoton wachsend?
>
> aber ist die gesamte Funktion h(x) dann trotzdem monoton
Nein. Es ist -1< 0< 2, aber
h(-1) = -1< 1 =h(1) > 1/4= h(2)
FRED
> obwohl ein Teil monoton fallend und der andere monoton
> wachsend ist?
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