Monotonie einer Folge < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei die Folge [mm] {x_n} [/mm] durch die Rekursionsformel
[mm] x_{n+1}= [/mm] c/2 + [mm] x_n^2/2, [/mm] mit [mm] x_1=c/2 [/mm] gegeben.
a) Zeigen sie, dass die Folge für c>0 monoton wachsend ist!
b) Zeigen sie, dass die Folge für c e ]0,1] auch beschränkt ist!
c) berechnen sie den Grenzwert unter den Bedingungen von b)! |
Ich habe von solchen Aufgaben überhaupt keine Ahnung (bin Erstsemester). Kann mir irgendjemand leicht verständlich erklären wie man hier zu irgendeinem Ergebnis der Teilaudfgaben kommt???
Wär echt nett, weil ich kapier das gar nicht!Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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> Sei die Folge [mm]{x_n}[/mm] durch die Rekursionsformel
> [mm]x_{n+1}=[/mm] c/2 + [mm]x_n^2/2,[/mm] mit [mm]x_1=c/2[/mm] gegeben.
> a) Zeigen sie, dass die Folge für c>0 monoton wachsend
> ist!
> b) Zeigen sie, dass die Folge für c e ]0,1] auch
> beschränkt ist!
> c) berechnen sie den Grenzwert unter den Bedingungen von
> b)!
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ich gehe davon aus, daß Du weißt, was eine Folge und ein Grenzwert ist,
die allerwesentlichen Sätze aus der Vorlesung kennst oder zumindest weißt, wo sie stehen.
Du hast eine rekursiv definierte Folge [mm] (x_n) [/mm] vorliegen mit
[mm] x_1:=\bruch{c}{2} [/mm] , [mm] x_{n+1}:=\bruch{c}{2} [/mm] + [mm] \bruch{x_n^2}{2} [/mm] f.a.n [mm] \in \IN [/mm] und ein c [mm] \in [/mm] IR.
Dieses c ist die erste Hürde. Es ist zwar beliebig, aber fest. Es bleibt immer gleich, verändert sich nicht.
Nun schreiben wir ein paar Folgenglieder auf.
[mm] x_1=\bruch{c}{2}, [/mm]
[mm] x_{2}=\bruch{c}{2} [/mm] + [mm] \bruch{x_1^2}{2}=\bruch{c}{2} [/mm] + [mm] \bruch{(\bruch{c}{2})^2}{2}=\bruch{c}{2} [/mm] + [mm] \bruch{c}{8}
[/mm]
[mm] x_3= \bruch{c}{2} [/mm] + [mm] \bruch{x_2^2}{2}= \bruch{c}{2} [/mm] + [mm] \bruch{(\bruch{c}{2} + \bruch{c}{8})^2}{2}=...
[/mm]
Gerne schreibe ich mir auch, sofern das möglich ist, ganz konkrete Zahlen hin, leider bin ich an meinem momentanen Arbeitsplatz ohne meinen Taschenrechner, aber Du solltest das ruhig mal tun.
Nimm Dir ein c, etwa [mm] c=\bruch{3}{4} [/mm] und reche Dir die ersten Folgenglieder aus. Das ist zwar unmathematisch und hat keinerlei Beweiskraft - aber ich glaube, daß es viele auf Schmierpaier tun. Hier kann man schonmal Vermutungen sammeln, welche man dann natürlich korrekt beweisen muß.
a) Monoton wachsend bedeutet: mit steigendem Index werden die Folgenglieder größer, also lautet hier die Behauptung:
Für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt [mm] x_n \le x_{n+1}.
[/mm]
Beweisen kannst Du das mit vollständiger Induktion.
i) Zuerst weißt Du nach, daß [mm] x_1 \le x_2 [/mm] ist,
d.h. 1 [mm] \le \bruch{c}{2} [/mm] + [mm] \bruch{c}{8}
[/mm]
ii) Du nimmst an, daß n [mm] \in \IN [/mm] gilt (*) [mm] x_n \le x_{n+1} [/mm] gilt und zeigst daß
[mm] x_{n+1} \le x_{n+2}.
[/mm]
Starte mit [mm] x_{n+2}=... [/mm] und schätze das unter Verwendung von (*) ab, bis schließlich ... [mm] \ge x_{n+1} [/mm] dasteht.
Gelingt Dir das, ist die Monotonie gezeigt.
b) Nimm nun an, daß 0< [mm] c\le [/mm] 1.
Du sollst zeigen, daß [mm] (x_n) [/mm] beschränkt ist, daß es also nicht ins Unermeßliche wächst, sondern daß es eine Schranke S gibt, so daß
für alle n gilt: [mm] x_n \le [/mm] S.
Auch das kann man mit Induktion machen. Errate oder erspüre eine Schranke und zeig, daß es eine ist.
Einer der wichtigen Sätze ist: jede Folge, die monoton wachsend und beschränkt ist, konvergiert.
Wenn Du a) und b) zusammennimmst, hast Du also gezeigt, daß [mm] (x_n) [/mm] für 0< [mm] c\le [/mm] 1 einen Grenzwert hat.
Deshalb ist Aufgabe c) überhaupt nur sinnvoll.
c) Du sollst den Grenzwert ermitteln.
Das würde ich mit folgenden Überlegungen machen:
Die Folge konvergiert wg. s.o.
Mal angenommen, g wäre der Grenzwert, d.h. [mm] x_n \to [/mm] g.
Dann gilt =lim [mm] x_{n+1}=lim [/mm] (c/2 + [mm] x_n^2/2)=\bruch{c}{2} [/mm] + [mm] \bruch{g^2}{2} [/mm]
Hieraus erhältst Du g.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:56 Di 24.10.2006 | | Autor: | Alkinator |
@ Angela: Wollte mich nur bei dir für deine Hilfe bedanken... Jetzt blick ich wenigstens n bisschen durch...
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