Monotonie einer Folge zeigen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei p>0. Betrachten Sie die Folge [mm] (a_n)_n_=_(0,1,2,..) [/mm] mit [mm] a_n:=(1+p/2^n)^2^n. [/mm] Zeigen Sie, dass [mm] (a_n)_n_=_(0,1,2,..) [/mm] monoton wachsend ist. Was bedeutet dies anschaulich, wenn p=0,04 der jährliche risikolose Zinssatz ist? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe ein Problem mit der Aufgabe? Wie muss ich hier denn vorgehen? wie kann ich denn die Monotonie einer folge nachweisen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:13 Sa 27.06.2009 | | Autor: | abakus |
> Sei p>0. Betrachten Sie die Folge [mm](a_n)_n_=_(0,1,2,..)[/mm] mit
> [mm]a_n:=(1+p/2^n)^2^n.[/mm] Zeigen Sie, dass [mm](a_n)_n_=_(0,1,2,..)[/mm]
> monoton wachsend ist. Was bedeutet dies anschaulich, wenn
> p=0,04 der jährliche risikolose Zinssatz ist?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Ich habe ein Problem mit der Aufgabe? Wie muss ich hier
> denn vorgehen? wie kann ich denn die Monotonie einer folge
> nachweisen?
Hallo,
die Folge [mm] (a_n) [/mm] ist monoton wachsend, wenn für jedes beliebige n gilt, dass [mm] a_{n+1}>a_n [/mm] ist.
Das kann auf zwei Wegen bewiesen werden:
1) Bilde die Differenz [mm] a_{n+1}-a_n [/mm] und weise nach, dass sie stets positiv ist
2) Falls du sicher sein kannst, dass alle Folgenglieder positiv sind, kannst du auch nachweisen, dass der Quotient [mm] a_{n+1}/a_n [/mm] für alle n größer als 1 ist.
Gruß Abakus
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ich konnte die monotonie immer noch nicht nachweisen? kann man irgendwie bei der differenz zwischen [mm] a_n_+_1 [/mm] - [mm] a_n [/mm] auf irgendetwas kommen wie [mm] (a)^2^n [/mm] > [mm] (b)^2^n [/mm] . Also kann man es irgendwie rechnerisch nachweisen? ich habe es vielmals umgeformt und kam schon auf interessante ideen, jedoch stört mich beim p>0 die Werte zwischen 0 und 1, was ja bei einem bruch viel ausmacht.
so weit kam ich nur:
[Dateianhang nicht öffentlich]
bitte um weitere Tipps !!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo necatiates,
da bist Du nicht weit gekommen. Eine zu frühe Abschätzung der beiden Folgenglieder verhindert hier die Rechnung. Das ist so, als ob Du 5-3 abschätzt, indem Du 5>1 und 3>1 feststellst - und dann ist die Rechnung zuende, keine Aussage möglich.
Übrigens wäre nett, wenn Du statt eines Scans Deine kurze Rechnung hier richtig eingibst. Dann findest Du leichter Hilfe. Niemand hat wirklich Lust, Dir die Tipparbeit abzunehmen; das muss man aber, wenn man reagieren will. Ich tu's jetzt ausnahmsweise, Dir gegenüber zum ersten und letzten Mal:
Die Frage war ja, anders formuliert:
[mm] \left(1+\bruch{p}{2^{n+1}}\right)^{n+1}>\left(1+\bruch{p}{2^n}\right)^n [/mm] ?
mit [mm] \left(2^{n+1}\right)^{n+1} [/mm] multiplizieren: [mm] \left(2^{n+1}+p\right)^{n+1}>2^{2n+1}*\left(2^n+p\right)^n
[/mm]
n-te Wurzel nehmen: [mm] \left(2^{n+1}+p\right)*\wurzel[n]{\left(2^{n+1}+p\right)}>4*\wurzel[n]{2}*\left(2^n+p\right)
[/mm]
Jetzt bist Du einer besseren Abschätzung nahe. Zur Kontrolle: Deine Folge ist keineswegs monoton wachsend.
Grüße
reverend
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> Jetzt bist Du einer besseren Abschätzung nahe. Zur
> Kontrolle: Deine Folge ist keineswegs monoton wachsend.
bei der aufgabe steht doch, dass ich zeigen muss, dass es monoton wachsend ist.dann gehe ich doch davon aus, dass es monoton wachsend ist, oder habe ich es falsch verstanden?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:09 So 28.06.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
nimm mal z.Bsp p=1, n=3 und n=4 und tipp das in deinen TR ein.
hast du die Aufgabe woertlich zitiert?
Gruss leduart
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ja ich habe es wörtlich zitiert.
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für [mm] a_n_+_1 [/mm] > [mm] a_n [/mm] kommt für p=1, n=3 43,123..>45,123... . das kann doch nicht monoton wachsend sein. aber laut aufgabenstellung muss es ja monoton wachsend sein.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:23 Mo 29.06.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Hast du evtl einige Bedingungen übersehen, die die Variablen irgendwie einschränken?
Marius
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