Monotonie und Beschränktheit < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:47 Di 15.11.2005 | | Autor: | Franzie |
Hallöchen alle miteinander!
hab mal ne frage, wie ich an folgende aufgabe herangehen soll:
sei a [mm] \in [/mm] (0,1) und die folge [mm] a_{n} [/mm] rekursiv definiert durch
[mm] a_{1}:=a [/mm] und [mm] a_{n+1}:=1-\wurzel{1-a_{n}}
[/mm]
zeigen sie, dass die folge monoton und beschränkt ist und berechnen sie den grenzwert der folge.
wenn die folge monoton ist, muss ich ja die differenz [mm] a_{n+1}-a_{n} [/mm] untersuchen. ist sie größer 0, so ist die folge monoton wachsend, ist sie kleiner 0, dann ist sie monoton fallend.
aber wenn ich nun [mm] 1-\wurzel{1-a_{n}}-a_{n} [/mm] seh ich das ja noch nicht. wie kann ich das denn geeignet umformen?
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Hallo Franzi,
das ist eigentlich nicht schwer. Du hast
[mm] $a_{n+1}-a_n=1-\wurzel{1-a_{n}}-a_{n}=1-a_n-\wurzel{1-a_{n}}$
[/mm]
Substituierst du nun [mm] $z:=1-a_n$, [/mm] dann gilt [mm] $a_{n+1}-a_n=z-\wurzel{z}$.
[/mm]
Du musst dir also überlegen, was du über die differenz einer reellen zahl und ihrer wurzel aussagen kannst. Und dabei sollte dann auch ins spiel kommen, was du dir (hoffentlich!  ) schon vorher bei der beschränktheit der folge überlegt hast.
Viele Grüße
Matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:54 Mi 16.11.2005 | | Autor: | Franzie |
also wenn ich das mit der substitution mache, ist das z unter der wurzel im zahlbereich der reellen zahlen positiv, folglich müsste die ganze differenz größer als 0 sein und ist somit monoton wachsend.
wie kann ich denn nun daraus schließen, dass sie beschränkt ist?
denn wenn sie beschränkt ist, kann ich ja dann auf die konvergenz schließen.
aber wie zeige ich das?
liebe grüße
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Hallo,
jetzt zäumst du das pferd von hinten auf... überlege dir erst einmal, in welchem wertebereich die folgeglieder liegen können und beachte dabei, dass der anfangswert $a$ zwischen 0 und 1 liegt.
wenn du diesen schritt gemacht hast, wirst du auch eine aussage über die monotonie treffen können.
Viele Grüße
Matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:30 Mi 16.11.2005 | | Autor: | Franzie |
wenn der anfangswert a zwischen 0 und 1 liegt, dann liegt der wertebereich der folge doch auch in diesem bereich, oder? (wenn ich in die folge 0 einsetze, erhalte ich 0 und setze ich 1 ein, erhalte ich 1)
die differenz liegt daher auch zwischen 0 und 1. es ist daher eine monoton wachsende folge.
oder wo muss ich jetzt ansetzen, um das pferd nicht von hinten aufzuzäumen?
liebe grüße
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gut, die folgeglieder liegen alle zwischen 0 und 1, die beschränktheit haben wir also. jetzt schau dir nochmal den differenzterm an :
[mm] $z-\wurzel{z}$
[/mm]
mit [mm] $z=1-a_n$ [/mm] liegt dann auch $z$ zwischen 0 und 1. Was kannst du dann über die Wurzel von $z$ sagen bzw. über [mm] $z-\wurzel{z}$?
[/mm]
(Rechne im zweifelsfall mal ein beispiel aus)
Viele Grüße
Matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:57 Mi 16.11.2005 | | Autor: | Franzie |
also wenn z zwischen 0 und 1 liegt, liegt auch die wurzel von z zwischen 0 und 1, weil wurzel 1= 1 und wurzel 0=0. wenn ich die differenz jetzt bestimmen soll, mal angenommen mittels eines beispiels für
z= 1/4 erhalte ich -1/4 oder für z=4/9 als ergebnis der differenz -2/9. damit hab ich eine falsche vermutung gehabt. die differenz ist kleiner 0 und es handelt sich somit um eine monoton fallende folge, richtig?
da ich ja nun weiß, dass die folge monoton und beschränkt ist, könnte ich doch theoretisch auch den grenzwert bestimmen. muss dieser auch zwischen 0 und 1 liegen?
liebe grüße
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langsam nähern wir uns der lösung... wurzeln von zahlen zwischen 0 und 1 sind grundsätzlich größer als die zahl selbst, also ist die folge monoton fallend. außerdem beschränkt, also konvergiert sie. Du musst jetzt nur noch den grenzwert ausrechnen.
bei rekursiven folgen gibt es eine methode, die kandidaten für den grenzwert zu bestimmen. Es gilt ja bei dir
[mm] $a_{n+1}=1-\wurzel{1-a_n}$
[/mm]
wenn du jetzt bei dieser gleichung zum grenzwert übergehst (der ja nach den bisherigen überlegungen existiert!), erhältst du folgende gleichung, die der grenzwert $x$ erfüllen muss:
[mm] $x=1-\wurzel{1-x}$
[/mm]
Wenn du diese gleichung löst, solltest du den grenzwert ablesen können.
VG
Matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:49 Mi 16.11.2005 | | Autor: | Franzie |
ah..............dann ist der grenzwert also 0 (da die gleichung nach x aufgelöst die lösung 0 ergibt)?
vielen dank schon mal für deine hilfe! hab jetzt endlich den kram mit den rekursiven folgen verstanden und hoffe, dass ich das demnächst auch alleine hinkriege.
liebe grüße
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eine kleinigkeit muss ich noch anmerken: 0 ist eine Lösung der Gleichung, allerdings auch die 1! also sind diese beiden zahlen die kandidaten für den grenzwert, geben kann es aber natürlich nur einen.
in so einem fall muss man überlegen, ob man einen der kandidaten ausschließen kann. die 1 kann es in unserem fall nicht sein, da schon der zweite folgewert kleiner als 1 ist und die werte weiter monoton fallen. also muss es die 0 sein. qed.
schön, wenn du bei dieser aufgabe ein paar sachen gelernt/verstanden hast!
VG
Matthias
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