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| Aufgabe 1 | | Weise die Monotonie der Folge [mm] (a_{n}): a_{n} =\bruch{2+3n}{4+n} [/mm] nach! |
| Aufgabe 2 | | Untersuche die Folge [mm] (a_{n}): a_{n} \bruch{2+n}{1+n^2} [/mm] auf Beschränktheit hin! |
Hmm, ja, wie muss ich das angehen?
Bei Aufgabe 1:
Ich vermute, dass die Folge monoton steigend ist, da wenn [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] die beiden reellen Zahlen irrelevant werden und im endeffekt [mm] \bruch{3n}{n} [/mm] bleiben. Somit müsste die Folge doch monoton steigend sein, da der Zähler um das Dreifache größer bleibt als der Nenner. Schön, der Grenzwert dürfte bei 3 liegen, aber wie weise ich jetzt die Monotonie nach?
Bei Aufgabe 2
Habe ich die selbe Grundüberlegung, wenn [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] werden die reellen Zahlen uninteressant, und es bliebe [mm] \bruch{n}{n^2}
[/mm]
da würde ich jetzt vermuten, dass sie monoton fallen ist, allerdings frage ich mich, wie ich an die Beschränktheit komme.
Unabhängig davon, könnte mir vielleicht jemand erklären was mit [mm] \varepsilon [/mm] = 1 im Zusammenhang mit dem Nachweis eines Grenzwertes zu tun hat?
MLG Legends
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:15 So 13.12.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo dxlegend!
Deine Vorgehensweise ist leider nicht richtig, da diese Überlegung nichts über Monotonie aussagt.
Berechne stattdessen den Ausdruck [mm] $a_{n+1}-a_n [/mm] \ = \ ...$ und untersuche, ob diese $> \ 0$ (dann monoton steigend) oder $< \ 0$ (dann montoton fallend) ist.
Gruß
Loddar
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Muss ich dann einfach eine beliebige Zahl für n einsetzen und das im Zusammenhang von n+1 berechnen oder muss die Rechnung weiter mit n durchgeführt werden?
Wenn letzteres der Fall ist, bitte ich darum, dies zu demonstrieren :)
MLG Manuel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:37 So 13.12.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Sowas musst du 1. aimmer allgemein mit n machen,
2. kannst dus mit Zahlen natürlich ausprobieren, damit du weisst in welcher Richtung du suchen musst.
3. kannst du die Differenz oder den Quotienten untersuchen, um die Monotonie zu zeigen,
Un damit musst du einfach in Gang kommen.
(Zahlen einsetzen hilft nix, denn selbst wenn es bei n012 zufällig grade [mm] a_{12} [/mm] grösser ist, könnte ja [mm] a_{13} [/mm] wieder kleiner sein usw.)
Gruss leduart
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Nur wie muss ich dass dann angehen?
in diesem Fall lautet ja der Ausgangsterm [mm] \bruch{2+3n}{4+n}
[/mm]
Wie muss ich das nach der Formel von Loddar ( $ [mm] a_{n+1}-a_n [/mm] \ = \ ... $) rechnen?
Das ergäbe für mich ja zunächst:
[mm] \bruch{2+3(n+1)}{4+(n+1)} [/mm] - [mm] \bruch{2+3n}{4+n}
[/mm]
aber wie ginge es von dort weiter?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:31 So 13.12.2009 | | Autor: | dormant |
Hi!
> Nur wie muss ich dass dann angehen?
>
> in diesem Fall lautet ja der Ausgangsterm
> [mm]\bruch{2+3n}{4+n}[/mm]
> Wie muss ich das nach der Formel von Loddar ( [mm]a_{n+1}-a_n \ = \ ... [/mm])
> rechnen?
> Das ergäbe für mich ja zunächst:
>
> [mm]\bruch{2+3(n+1)}{4+(n+1)}[/mm] - [mm]\bruch{2+3n}{4+n}[/mm]
>
> aber wie ginge es von dort weiter?
Ja, weiterrechnen. Das Ding als einen Bruch darstellen (gemeinsamer Nenner ist ja (5+n)*(4+n) ) und schauen ob es größer oder kleiner Null ist. Du kriegst im Zähler einen Ausdruck der Form [mm] an^2+bn+c. [/mm] Dafür kannst du ja sicher die Nullstellen ausrechnen (falls vorhanden). Dann gilt ja: falls a<0, dann ist außerhalb der Nullstellen (also für [mm] n->\infty) [/mm] der Ausdruck negativ.
Gruß,
dormant
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:40 So 13.12.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo dxlegends!
Auch hier stimmt Deine Vorgehensweise nicht. Ermittle Dir zunächst die ersten Glieder der Folge durch Einsetzen von $n \ = \ 1;2;3;4$ bzw. auch den Grenzwert dieser Folge.
Damit sollte sich dann ein Verdacht ergeben bezüglich der Schranken dieser Folge.
Diese musst Du dann durch entsprechende Unlgeichungen nachweisen.
Zum Beispiel:
[mm] $$a_n [/mm] \ > \ 0$$
[mm] $$\bruch{2+n}{1+n^2} [/mm] \ > \ 0$$
Diese Ungleichung nunmehr durch Umformungen in eine wahre Aussage umwandeln.
Gruß
Loddar
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