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Monotoniebeweis: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:56 Mo 29.11.2004
Autor: Arthur

und zwar sollen wir beweisen, dass die Folge

an=(1 + x/n) ^n  monoton steigend ist (mit x>0 und n aus N)

habe da jetzt ewig rumgebastelt ohne zu einer lösung zu kommen
meistens steht auf beiden seiten etwas das größer/kleiner als 1 ist aber ich weiß nicht um wieviel größer
vielen dank schonmal :)

arthur
        
Bezug
Monotoniebeweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:39 Mo 29.11.2004
Autor: Stefan

Lieber Arthur!

Schön, mal wieder was von dir zu lesen! :-)

Zu zeigen ist:

[mm] $\frac{a_n}{a_{n-1}} \ge [/mm] 1$.

Es gilt:

[mm] $\frac{a_n}{a_{n-1}}$ [/mm]

$= [mm] \frac{ \left( \frac{n+x}{n} \right)^n}{ \left( \frac{n-1+x}{n-1} \right)^{n-1}}$ [/mm]

$= [mm] \left( \frac{(n+x) \cdot (n-1)}{n \cdot (n-1+x)} \right)^n \cdot \frac{n-1+x}{n-1}$ [/mm]

$= [mm] \left( \frac{n^2 + nx - n - x}{n^2 - n + nx} \right)^n \cdot \frac{n-1+x}{n-1}$ [/mm]

$= [mm] \left( 1 - \frac{x}{n^2 - n + nx} \right)^n \cdot \frac{n-1+x}{n-1}$. [/mm]

So, und jetzt wendest du auf den ersten Faktor die Bernoullische Ungleichung an und bist fertig. Überzeuge dich aber vorher davon, dass du sie auch anwenden darfst! :-)

Liebe Grüße
Stefan
Bezug
                
Bezug
Monotoniebeweis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:11 Mo 29.11.2004
Autor: Arthur

Vielen Dank!!

Bis zur vorletzten Zeile bin ich auch gekommen, aber auf die Idee das zu einer Bernoullischen Ungleichung zu vereinfachen nicht ;-)

Werde mich jetzt aber mal wieder häufiger hier blicken lassen!
Bis bald,

Arthur
Bezug
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