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| Aufgabe | Untersuchen Sie das Monotonieverhalten der Funktion f auf ihrem Definitionsbereich mit
f(x)= [mm] e^{-x^{2}} [/mm] |
Hallo!
Bei obiger Aufgabe gilt es zur Ermittlung des Monotonieverhaltens, die 1. Ableitung zu bestimmen und dann den Monotoniesatz anzuwenden:
Wenn für alle x [mm] \in [/mm] I gilt: f'()x)>0, dann ist f streng monoton zunehmend.
Wenn für alle x [mm] \in [/mm] I gilt: f'(x)<0, dann ist f streng monoton abnehmend.
Wenn man nun die Ableitung der gegebenen Fkt. ermittelt, erhält man ja f'(x)= [mm] -2x*e^{-x^{2}}
[/mm]
Jetzt steht in der Lösung folgendes:
Für x<0 ist -2x>0 und da [mm] e^{-x^{2}}>0 [/mm] für alle x gilt, ist auch f'(x)>0.
In diesem Intervall ist die Funktion f streng monoton zunehmend.
Für x>0 ist -2x>0 und da [mm] e^{-x^{2}}>0 [/mm] für alle x gilt … f streng monoton abnhemend.
Meine Frage: Warum ist für alle x [mm] e^{-x^{2}}>0??
[/mm]
Das Minus vor dem [mm] x^{2} [/mm] im Exponenten bewirkt doch eigentlich, dass z.B. für sehr große (positive wie auch negative) Werte von x der Term [mm] e^{-x^{2}} [/mm] gegen null geht bzw. null wird. Oder nicht? Zumindest bei der Grenzwertbetrachtung (limes…) ist das doch so.
Kann mir jemand erklären, was Sache ist?
Das wäre sehr nett, danke.
LG Eli
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> Untersuchen Sie das Monotonieverhalten der Funktion f auf
> ihrem Definitionsbereich mit
> f(x)= [mm]e^{-x^{2}}[/mm]
> Hallo!
>
> Bei obiger Aufgabe gilt es zur Ermittlung des
> Monotonieverhaltens, die 1. Ableitung zu bestimmen und dann
> den Monotoniesatz anzuwenden:
> Wenn für alle x [mm]\in[/mm] I gilt: f'()x)>0, dann ist f streng
> monoton zunehmend.
> Wenn für alle x [mm]\in[/mm] I gilt: f'(x)<0, dann ist f streng
> monoton abnehmend.
>
> Wenn man nun die Ableitung der gegebenen Fkt. ermittelt,
> erhält man ja f'(x)= [mm]-2x*e^{-x^{2}}[/mm]
>
> Jetzt steht in der Lösung folgendes:
> Für x<0 ist -2x>0 und da [mm]e^{-x^{2}}>0[/mm] für alle x gilt,
> ist auch f'(x)>0.
> In diesem Intervall ist die Funktion f streng monoton
> zunehmend.
> Für x>0 ist -2x>0 und da [mm]e^{-x^{2}}>0[/mm] für alle x gilt
> … f streng monoton abnhemend.
>
> Meine Frage: Warum ist für alle x [mm]e^{-x^{2}}>0??[/mm]
> Das Minus vor dem [mm]x^{2}[/mm] im Exponenten bewirkt doch
> eigentlich, dass z.B. für sehr große (positive wie auch
> negative) Werte von x der Term [mm]e^{-x^{2}}[/mm] gegen null geht
> bzw. null wird. Oder nicht?
> Zumindest bei der
> Grenzwertbetrachtung (limes…) ist das doch so.
ja da hast du recht! wenn x gegen [mm] \infty [/mm] geht, geht [mm] e^{-x^2} [/mm] gegen 0. aber es gibt keine reelle zahl die du einsetzen kannst, dass es tatsächlich auch 0 wird (und [mm] \infty \not\in \IR)
[/mm]
>
> Kann mir jemand erklären, was Sache ist?
> Das wäre sehr nett, danke.
>
> LG Eli
gruß tee
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:44 Sa 20.02.2010 | | Autor: | karma |
Hallo uns guten Abend.
die Exponentialfunktion ist von vorneherein größer als Null;
z.B. ist
[mm] $e^{0}=1$,
[/mm]
[mm] $e^{1000}>1$,
[/mm]
und [mm] $e^{-1000}=\frac{1}{e^{1000}}>0$
[/mm]
usw.
Desweiteren nimmt [mm] $x^{2}$ [/mm] niemals Werte kleiner als Null an und deshalb sind die Funktionswerte von [mm] $-x^{2}$ [/mm] stets kleiner oder gleich Null.
Also ist [mm] $e^{-x^2}$ [/mm] höchstens gleich eins und stets größer als Null.
Was ist f(x) und was ist f(-x) und was ist f(x) minus f(-x)?
Danke für die Auskunft.
Schönen Gruß
Karsten
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