Monotonieverhalten < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:01 Mo 05.09.2005 | | Autor: | hausomat |
Hallihallöle,
es ist mal wieder an der Zeit, doofe Fragen zu stellen  . Rechne gerade eine Klausur durch, liegt leider keine Lösung dabei (wie bei fast allen M Klausuren bei uns *kotz*), deshalb hier die Frage.
Gegeben sei f(x) = ln sqrt(4-x)
c) Bestimmen sie die NST und das Monotonieverhalten der Fkt.
--> Ok, NST gibts eine, liegt bei 3. Geschenkt. Jetzt die Frage: Wie weise ich die Monotonie nach?? Ich für meine Wenigkeit interpretiere das so: Ich nehm mir zwei Werte, [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] (aus dem D(f) Bereich) und setze sie in die obige Fkt ein. Die Werte, die ich heraus bekomme, zeigen mir dann rechnerisch, ob das jetzt eine streng monoton fallende oder steigende Fkt ist. In meinem Fall hätte ich als [mm] x_{1} [/mm] den Wert 1 und als [mm] x_{2} [/mm] den Wert 2 in die Fkt eingesetzt, f(1) = 0,54... und f(2) = 0,36...
--> ergo streng monoton fallend. Oder habe ich das jetzt falsch gezeigt? Wie kann ich das anders zeigen?!
Danke schonmal für eure Hilfe :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:14 Mo 05.09.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Hausomat!
> Gegeben sei f(x) = ln sqrt(4-x)
>
> c) Bestimmen sie die NST und das Monotonieverhalten der
> Fkt.
>
> --> Ok, NST gibts eine, liegt bei 3. Geschenkt.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Jetzt die Frage: Wie weise ich die Monotonie nach??
> Ich für meine Wenigkeit interpretiere das so:
> Ich nehm mir zwei Werte,
> [mm]x_{1}[/mm] und [mm]x_{2}[/mm] (aus dem D(f) Bereich) und setze sie in
> die obige Fkt ein. Die Werte, die ich heraus bekomme,
> zeigen mir dann rechnerisch, ob das jetzt eine streng
> monoton fallende oder steigende Fkt ist. In meinem Fall
> hätte ich als [mm]x_{1}[/mm] den Wert 1 und als [mm]x_{2}[/mm] den Wert 2 in
> die Fkt eingesetzt, f(1) = 0,54... und f(2) = 0,36...
>
> --> ergo streng monoton fallend. Oder habe ich das jetzt
> falsch gezeigt? Wie kann ich das anders zeigen?!
Da hast Du dir das etwas zu einfach gemacht, da Du das lediglich für diese beiden konkreten Werte zeigst.
Du kannst das aber allgemein über die Ableitung zeigen:
$f'(x) \ > \ 0$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] streng monoton steigend
$f'(x) \ [mm] \ge [/mm] \ 0$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] monoton steigend
$f'(x) \ < \ 0$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] streng monoton fallend
$f'(x) \ [mm] \le [/mm] \ 0$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] monoton fallend
![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]") Zur Bestimmung der Ableitung zunächst gemäß  Logarithmusgesetz umformen:
$f(x) \ = \ [mm] \ln\wurzel{4-x} [/mm] \ = \ [mm] \ln\left(4-x\right)^{0,5} [/mm] \ = \ [mm] 0,5*\ln(4-x)$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:28 Di 06.09.2005 | | Autor: | hausomat |
Moin Loddar,
danke erstmal für die fixe Antwort. Das mit der Ableitung wusste ich bisher nicht, haben wir so auch nicht gemacht. Ich muss dummerweise die Klausur M1 nachschreiben, das Ableiten hatten wir im ersten Semester nicht als Thema, erst im Zweiten. Ich könnte damit zwar sicherlich auch Punkte machen, aber da muss es noch einen anderen Lösungsweg geben...
Schade, hätte gedacht, dass mein simpler Weg geht *grmlt vor sich hin*
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:15 Di 06.09.2005 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen hausomat!
Dann also ohne Differentialrechnung ...
Du hast ja bereits den Verdacht: streng monoton fallend!
Das bedeutet ja: [mm] $x_1 [/mm] \ > \ [mm] x_2 [/mm] \ \ \ \ [mm] \Rightarrow [/mm] \ \ \ \ [mm] f(x_1) [/mm] \ [mm] \red{<} [/mm] \ [mm] f(x_2)$
[/mm]
Dann schreiben wir das mal allgemein auf:
[mm] $f(x_1) [/mm] \ < \ [mm] f(x_2)$
[/mm]
[mm] $\ln\wurzel{4-x_1} [/mm] \ < \ [mm] \ln\wurzel{4-x_2}$
[/mm]
Versuch' das nun mal soweit umzumformen, bis Du die Aussage [mm] $x_2 [/mm] \ < \ [mm] x_1$ [/mm] erhältst. Das sollte ja kein Problem sein, oder?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:02 Di 06.09.2005 | | Autor: | hausomat |
Hi Loddar,
danke erstmal! Das Umformen ist kein Problem, beim Quadrieren wechselt das VZ usw, dann komme ich natürlich auf [mm] x_{2} [/mm] < [mm] x_{1}. [/mm] Damit dürfte ich das auch gezeigt haben, nehme ich an. Und ich hoffe auch zur Zufriedenheit des Profs ;)
Das Problem, das ich mit solchen Dingen habe ist, dass das in meinen Büchern nur selten konkret drin steht. Und länger brauch ich auch als andere, aber was lange währt ... ;)
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Hallo!
> danke erstmal! Das Umformen ist kein Problem, beim
> Quadrieren wechselt das VZ usw, dann komme ich natürlich
> auf [mm]x_{2}[/mm] < [mm]x_{1}.[/mm] Damit dürfte ich das auch gezeigt
> haben, nehme ich an. Und ich hoffe auch zur Zufriedenheit
> des Profs ;)
Wieso ändert sich beim Quadrieren das Vorzeichen? Davon weiß ich nichts. Wobei sich aber auf jeden Fall das Vorzeichen ändert ist, wenn du mit (-1) multiplizierst. Und so komme ich dann auf [mm] x_2
> Das Problem, das ich mit solchen Dingen habe ist, dass das
> in meinen Büchern nur selten konkret drin steht. Und länger
> brauch ich auch als andere, aber was lange währt ... ;)
Ist das jetzt eine Frage? Ansonsten schreibe das doch demnächst bitte einfach als Mitteilung.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:22 Di 06.09.2005 | | Autor: | hausomat |
Laber! War gedanklich grad wieder auf einem anderen Schlachtfeld, meinte VZ beim multiplizieren (mit -1)...
Ja und sorry wegen dem Fragen-Knopf, aber das Forum hier kappier ich fast noch weniger als Mathe *rausreden will* *räusper*
Schönen Abend noch ;)
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