Monotonieverhalten Untersuchen < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Betrachten Sie die Funktion [mm] f(x)=\bruch{1}{2}*x^{3}-x^{2}-1.5*x
[/mm]
Bestimmen Sie die Nullstellen von f sowie das Monotonieverhalten von f. |
Hallo euch allen zuerst mal,
bei mir geht das Studium los und ich bin dabei ein paar Sachen zu wiederholen die wichtig sind.
Ich habe auch auf anderen Seiten Erklärungen durchgelesen, aber leider keine richtigen Beispiele gefunden und deshalb bekomme ich die Aufgabe einfach nicht hin.
Ich fange mal einfach an...
Nullstellen sind [mm] x_{1}=0, [/mm] durch erraten, [mm] x_{2}=-1, x_{3}=3
[/mm]
Die anderen 2 NST habe ich mit einem Programm bekommen.
Nun die Ableitung:
[mm] f'(x)=\bruch{3}{2}*x^{2}-2*x-\bruch{3}{2}
[/mm]
Wie geht das dann für die Monotonie? Ich habe einige Lösungen im Internet gesehen, aber ich verstehe einfach nicht wie man auf die Unterscheidungen (streng) monoton wachselnd/fallend kommt...
Mir wird ein Stein vom Herzen fallen, wenn ich das wieder drauf hab!
Vielen vielen Dank für´s Lesen!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:41 Sa 08.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Prinzessin!
Für die Nullstellenberechnung kannst Du hier zunächst ausklammern:
$$0 \ = \ [mm] \bruch{1}{2}\cdot{}x^{3}-x^{2}-\bruch{3}{2}\cdot{}x [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}\cdot{}x*\left(x^2-2x-3\right)$$
[/mm]
Für die Klammer nun die  p/q-Formel anwenden ...
Bei der Monotonie solltest Du zunächst die Nullstellen der 1. Ableitung bestimmen. Anschließend kannst Du die Intervalle bestimmen, bei denen die Ableitung positiv bzw. negativ ist. Denn es gilt:
$$f'(x) \ [mm] \ge [/mm] \ 0 \ \ \ \ [mm] \gdw [/mm] \ \ \ \ [mm] f\text{ monoton steigend}$$
[/mm]
$$f'(x) \ [mm] \le [/mm] \ 0 \ \ \ \ [mm] \gdw [/mm] \ \ \ \ [mm] f\text{ monoton fallend}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar,
zuerst mal vielen Dank für die Tipps!
Habe das mit der p/q-Formel und ausklammern gar nicht berücksichtigt.
Das mit der Intervallbestimmung verstehe ich noch nicht ganz, also rechnerisch.
[mm] f'(x)=\bruch{3}{2}*x^{2}-2*x-\bruch{3}{2}
[/mm]
[mm] 0=x^{2}-\bruch{4}{3}*x-1
[/mm]
p/q-Formel.
[mm] \bruch{4}{6}\pm\wurzel{\bruch{16}{36}+\bruch{36}{36}}
[/mm]
[mm] =\bruch{4}{6}\pm\wurzel{\bruch{13}{9}}
[/mm]
[mm] x_{1}=\bruch{2}{3}+1,2=\sim1,87
[/mm]
[mm] x_{2}=\bruch{2}{3}-1,2=\sim-0,54
[/mm]
Muss man diese NST jetzt in f(x) einsetzen und schauen ob´s dann positiv oder negativ wird?
Vielen Dank nochmal!
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Hallo Prinzessin 
> Das mit der Intervallbestimmung verstehe ich noch nicht
> ganz, also rechnerisch.
>
> [mm]f'(x)=\bruch{3}{2}*x^{2}-2*x-\bruch{3}{2}[/mm]
> [mm]0=x^{2}-\bruch{4}{3}*x-1[/mm]
> p/q-Formel.
>
> [mm]\bruch{4}{6}\pm\wurzel{\bruch{16}{36}+\bruch{36}{36}}[/mm]
> [mm]=\bruch{4}{6}\pm\wurzel{\bruch{13}{9}}[/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Muss man diese NST jetzt in f(x) einsetzen und schauen ob´s
> dann positiv oder negativ wird?
>
> Vielen Dank nochmal!
>
Du hast die NST richtig berechnet, du kannst also die Ableitung so darstellen:
[mm] f'(x)=\frac{3}{2}x^2-2x-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\left(x-\frac{2+\sqrt{13}}{3}\right)\left(x-\frac{2-\sqrt{13}}{3}\right)
[/mm]
Nun musst du für monot. Wachstum überlegen, wann
[mm] \frac{3}{2}\left(x-\frac{2+\sqrt{13}}{3}\right)\left(x-\frac{2-\sqrt{13}}{3}\right)\ge [/mm] 0 ist
[mm] \gdw \left(x-\frac{2+\sqrt{13}}{3}\right)\left(x-\frac{2-\sqrt{13}}{3}\right)\ge [/mm] 0
Wann ist ein Produkt [mm] \ge [/mm] 0? Wenn [mm] \underline{beide} [/mm] Faktoren [mm] \ge [/mm] 0 sind oder wenn [mm] \underline{beide} [/mm] Faktoren [mm] \le [/mm] 0 sind.
Für monotones Fallen musst du analog überlegen, wann das Produkt
[mm] \left(x-\frac{2+\sqrt{13}}{3}\right)\left(x-\frac{2-\sqrt{13}}{3}\right)<0 [/mm] ist
LG
schachuzipus
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Hallo schachuzipus,
danke auch dir für´s Lesen und die Mühe.
So ganz verstehe ich die Darstellung in [mm] \bruch{3}{2}*(x-\bruch{2+\wurzel{13}}{3})*(x-\bruch{2-\wurzel{13}}{3})
[/mm]
nicht.
[mm] \bruch{2+\wurzel{13}}{3} [/mm] und [mm] \bruch{2-\wurzel{13}}{3} [/mm] sind mir klar, ist ja das Ergebnis nach der pq-Formel vereinfacht.
Aber wie man drauf kommt, dass da x- dazu kommt kann ich im Moment nicht ganz nachvollziehen.
Ich habe jetzt überlegt, wann
[mm] (\bruch{2+\wurzel{13}}{3})*(\bruch{2-\wurzel{13}}{3}) \ge [/mm] 0 ist.
Für 0 [mm] \ge [/mm] x [mm] \ge \bruch{2+\wurzel{13}}{3} [/mm]
oder
[mm] \bruch{2-\wurzel{13}}{3} \ge [/mm] x [mm] \le [/mm] 0 , oder??
2.
Analog für monoton fallend gilt:
[mm] 0
Ich hoffe, ich habe nicht allzu viel falsch gemacht...
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Hallo nochmal,
also die Darstellung ergibt sich so:
Es war [mm] f'(x)=f'(x)=\frac{3}{2}x^2-2x-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\left(x^2-\frac{4}{3}x-1\right)
[/mm]
Dann hast du richtig die NSt [mm] N_1 [/mm] und [mm] N_2 [/mm] des Polynoms [mm] x^2-\frac{4}{3}x-1 [/mm] berechnet, also sind seine Linearfaktoren [mm] (x-N_1) [/mm] und [mm] (x-N_2)
[/mm]
Damit kannst du [mm] x^2-\frac{4}{3}x-1 [/mm] schreiben als [mm] (x-N_1)\cdot{}(x-N_2)
[/mm]
Für [mm] N_1 [/mm] und [mm] N_2 [/mm] sind dann einfach deine errechnetet NST eingesetzt
Und den Vorfaktor [mm] \frac{3}{2} [/mm] natürlich nicht vergessen
Multipliziere doch mal den ganzen Rotz aus, dann kommt da wieder f'(x) raus - zumindest sollte das rauskommen
Ein paar Worte zu den Fallunterscheidungen:
Nehmen wir die ungefähren Zahlenwerte von [mm] \bruch{2+\wurzel{13}}{3}\approx [/mm] 1,87 und [mm] \bruch{2-\wurzel{13}}{3}\approx [/mm] -0,54
Dann kann man sich's besser am Zahlenstrahl vorstellen
Zum Wachstum:
Wir müssen gucken, wann [mm] (x-1,87)(x-(-0,54)\ge [/mm] 0 ist
also [mm] (x-1,87)(x+0,54)\ge [/mm] 0
Das ist so, wenn beide Faktoren [mm] \ge [/mm] 0 sind [mm] \underline{oder} [/mm] beide Faktoren [mm] \le [/mm] 0 sind
Also [mm] $\left[(x-1,87)\ge 0\wedge (x+0,54)\ge 0\right] [/mm] ODER [mm] \left[(x-1,87)\le 0\wedge (x+0,54)\le 0\right]$
[/mm]
Alles nach x auflösen:
[mm] $\gdw\left[x\ge 1,87\wedge x\ge -0,54\right] [/mm] ODER [mm] \left[x\le 1,87\wedge x\le -0,54\right]$
[/mm]
Nun scharf überlegen:
In der ersten Klammer soll [mm] x\ge [/mm] -0,54 UND [mm] x\ge [/mm] 1,87 sein.
Das erfüllen doch wohl nur die x mit [mm] x\ge [/mm] 1,87
Also ist dein erstes Intervall, auf dem f mon. wachsend ist [mm] [1,87;\infty)
[/mm]
In der zweiten Klammer soll [mm] x\le [/mm] 1,87 UND [mm] x\le [/mm] -0,54 sein
Das erfüllen welche x? Also hast du welches Intervall...?
Damit hast du 2 Intervalle, auf denen die Funktion f monoton wachsend ist
Zum monotonen Abnehmen:
Ähnliches Procedere:
Wann ist ein Produkt < 0? Wenn einer der Faktoren > 0 UND der andere < 0 ist (und umgekehrt)
Hier gilt es also wieder sich 2 Fälle anzuschauen:
[mm] $\left[(x-1,87)>0\wedge (x+0,54)<0\right] [/mm] ODER [mm] \left[(x-1,87)<0\wedge (x+0,54)>0\right]$
[/mm]
wieder nach x auflösen und schauen, wann oder ob überhaupt die Bedingungen in den Klammern erfüllt sind
Eine der Klammern sollte erfüllbar sein, das liefert dir dein drittes Intervall,
die Bedingung in der anderen Klammer sollte einen Widerspruch bringen bzw. nicht erfüllbar sein.
LG
schachuzipus
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Ah Linearfaktoren...das habe ich schon so lange nicht mehr gehört, aber ich habs mit dem Einsetzen probiert und klappt.
Ich habe mir die Wurzel und den Bruch auch als Zahl umgerechnet, aber habe vergessen die 2 durch die 3 zu teilen. Habe da nur die [mm] \wurzel{13} [/mm] durch 3 geteilt... Aber wie dem auch sei.
Das 1. Intervall ist, wie du geschrieben hast:
[1,87; [mm] \infty)
[/mm]
Für das 2. Intervall habe ich:
[mm] [-0,54;-\infty)
[/mm]
richtig?
Monotomes Abnehmen haben wir:
[mm] [(x-1,87)>0\wedge(x+0,54)<0] \vee [(x-1,87)<0\wedge(x+0,54)>0]
[/mm]
[mm] \gdw [x>1,87\wedge x<-0,54]\vee[x<1,87\wedge [/mm] x>-0,54]
In der ersten Klammer ist der Widerspruch, oder?
x kann ja nicht >1,87 sein und gleichzeitig < -0,54
Für die 2. Klammer habe ich das Intervall von ]-0,54;1,87[.
richtig?
Vielen lieben Dank nochmal!!
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Hallo Prinzessin,
> Ah Linearfaktoren...das habe ich schon so lange nicht mehr
> gehört, aber ich habs mit dem Einsetzen probiert und
> klappt.
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> Ich habe mir die Wurzel und den Bruch auch als Zahl
> umgerechnet, aber habe vergessen die 2 durch die 3 zu
> teilen. Habe da nur die [mm]\wurzel{13}[/mm] durch 3 geteilt... Aber
> wie dem auch sei.
>
> Das 1. Intervall ist, wie du geschrieben hast:
> [1,87; [mm]\infty)[/mm]
>
> Für das 2. Intervall habe ich:
> [mm][-0,54;-\infty)[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Man schreibt es andersherum , also [mm] ]-\infty;-0,54]
[/mm]
>
> richtig?
JA!!
> Monotomes Abnehmen haben wir:
>
> [mm][(x-1,87)>0\wedge(x+0,54)<0] \vee [(x-1,87)<0\wedge(x+0,54)>0][/mm]
>
> [mm]\gdw [x>1,87\wedge x<-0,54]\vee[x<1,87\wedge[/mm] x>-0,54]
>
> In der ersten Klammer ist der Widerspruch, oder?
> x kann ja nicht >1,87 sein und gleichzeitig < -0,54
>
> Für die 2. Klammer habe ich das Intervall von
> ]-0,54;1,87[.
> richtig?
Jau perfekt, alles richtig so
> Vielen lieben Dank nochmal!!
Keine Ursache
Gruß
schachuzipus
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Hi nochmal kurz,
ich habe mal den Graphen der Funktion plotten lassen, da kannste
das Steigungsverhalten nochmal graphisch kontrollieren - es stimmt mit
dem errechneten Ergebnis überein
LG
schachuzipus
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Echt super, dass es endlich geklappt hat.
Was ich noch gerne wissen würde ist, auch wenns wahrscheinlich nervig ist, wie ich an diesem Beispiel sehen kann, ob es streng monton fallend/steigend oder einfach nur monoton fallen/steigend ist?
Ich habe bei Wikipädia gefunden:
[mm] f(a)\lef(b) [/mm] , monoton steigend
f(a)<f(b), streng monoton steigend
Loddar hat ja geschrieben, es muss gelten.
[mm] f'(x)\ge0, [/mm] monoton steigend
[mm] f'(x)\le, [/mm] monoton fallend
Aber wir haben ja für das Fallen "nur" < 0 und nicht [mm] \le0 [/mm] berechnet.
Wahrscheinlich verwechsel ich da was...
Noch eine 2. Frage, ich hoffe das geht schnell.
Unser Prof. hat uns gesagt wir sollen mal an dieser Aufgabe die Extremstellen bestimmen, aber ohne die zweite Ableitung f'' zu verwenden.
[mm] f(x)=\bruch{1}{2}*x^{3}-x^{2}-\bruch{3}{2}*x
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{3}{2}x^{2}-2*x-\bruch{3}{2}
[/mm]
f'(x)=0
[mm] x_{1}=1,87
[/mm]
[mm] x_{2}=-0,54
[/mm]
[mm] f''(x)=2*x-\bruch{4}{3}
[/mm]
[mm] f''(x_{1})=2,41>0 \Rightarrow [/mm] Tiefpunkt (1,87/f(1,87))
[mm] f''(x_{2})=-2,4133<0 \Rightarrow [/mm] Hochpunkt (-0,54/f(-0,54))
Wendestellen...
f''(x)=0
[mm] \bruch{2}{3}=x
[/mm]
[mm] f'''(x)=2\not=0 \Rightarrow [/mm] Wendepunkt [mm] (\bruch{2}{3}/f(\bruch{2}{3}))
[/mm]
So habe ich das in der Schule gelernt, wenn ich jetzt keinen Fehler gemacht habe.
Zu Extremstellen gehören ja Hoch-/Tiefpunkte und Wendepunkte.
Wie soll man das nur mit der 1. Ableitung bestimmen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:47 Di 11.09.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo,
wie du schon richtig herausgefunden hast, bedeutet -->streng<-- , daß der Graph auf keinem noch so kleinen "Bereich" (eigentlich müßte ich hier "offenes Intervall" sagen) konstant bleibt. Das ist gesichert, wenn die Ableitung keine Bereiche hat, in denen sie Null bleibt.
Das war jetzt (hoffentlich) auch für Laien verständlich, läßt aber etwas Präzision vermissen. Präzise Definitionen bekommst du aber überall, so daß dir mit dieser etwas vagen Beschreibung wohl eher geholfen ist.
Solange du eine Polynomfunktion hast, ist das immer gesichert, das heißt: Alle Polynomfunktionen vom Grad mindestens 1 sind zwischen ihren lokalen Extrema bzw. [mm] +\infty [/mm] und [mm] -\infty [/mm] streng monoton.
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Hallo koepper,
danke für die Erkläuterung.
Ist mir jetzt etwas klarer.
Ich habe ja in meinem Fall die NST von f'(x) gesucht und dann für das Wachstum die Linearfaktoren aufgeschrieben
(x-1,87)*(x+0,54) [mm] [red]\ge[/red]0 [/mm] für das Wachstum.
1. Intervall [mm] (-\infty;-0,54[
[/mm]
2. Intervall [mm] [1,87;\infty)
[/mm]
Dadurch, dass ich das für [mm] \ge [/mm] untersucht habe, ist die Funktion in den beiden Intervallen nur monoton steigend, oder??
Für das Abnehmen habe ich mit Hilfe von schachuzipus untersucht, die Linearfaktoren
(x-1,87)*(x+0,54) < 0 und nicht [mm] \le [/mm] 0.
Also ist der Graph in dem Intervall ]-0,54;1,87[ streng monoton fallend, weil er für f'(x)<0 untersucht wurde, oder??
Oder verstehe ich da was falsch?
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Hallo Prinzessin,
wir haben ja effektiv mit der ganze Fallunterscheidung nur untersucht,
wann [mm] $(x-1,87)\cdot{}(x+0,54)<0$ [/mm] bzw. [mm] $(x-1,87)\cdot{}(x+0,54)>0$ [/mm] ist
Wie haben also eingentlich strenges Wachstum/Fallen untersucht.
Die Gleichheit, also $f'(x)=0$ hast du ja vorher schon bei der Bestimmung der Nullstellen der 1. Ableitung untersucht, da gab's nur 2 x-Werte
Das sind genau die Nahtstellen an den 3 Intervallen, die wir bestimmt haben.
An diesen Stellen "kippt" die Steigung quasi um. Sie ist exakt an diesen Stellen =0 und "daneben" so wie wir das untersucht haben.
Vielleicht sollten wir dann genauer sagen, dass $f$ in den [mm] \underline{offenen} [/mm] Intervallen [mm] $]-\infty;-0,54[$ [/mm] und [mm] $]1,87;\infty[$ \emph{streng} [/mm] monoton steigend und auf dem [mm] \underline{offenen} [/mm] Intervall $]-0,54;1,87[$ [mm] \emph{streng} [/mm] monoton fallend ist
LG
schachuzipus
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