Morphismen / Basen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:24 Mi 30.08.2006 | | Autor: | Elbi |
| Aufgabe | Es sei K ein Körper und V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum mit Basis [mm]B=(B_1,...,B_n)[/mm]. Zeigen SIe:
(a) Sei W ein K-Vektorraum. Für jedes [mm]C=(C_1,...,C_n) \in W^n[/mm] gibt es genau ein [mm]\phi \in Hom_K(V,W)[/mm] mit [mm]\phi(B_i)=C_i[/mm] für alle [mm]1 \le i \le n[/mm]. Ferner ist C genau dann eine Basis von W, wenn [mm]\phi[/mm] ein Isomorphismus ist.[/mm]
(b) Die Menge GL(V) der Automorphismen von V bildet eine Untergruppe von [mm]S_V[/mm].
(c) Es definiert [mm]\beta : GL(V) \to GL(n,K), \phi \mapsto ^B\phi^B[/mm] einen Gruppenisomorphismus, d.h. [mm]\beta[/mm] ist bijektiv und erfüllt [mm]\beta(\phi \circ \psi)=\beta(\phi) * \beta(\psi)[/mm] für alle [mm]\phi ,\psi \in GL(V)[/mm]. |
Hallo,
noch eine Aufgabe, wo ich nicht weiter komme.
Bei (a) muss ich doch zum einen mit der Abbildungsmatrix arbeiten, bzw. den Satz dazu, oder? Ich bin mir da nicht so sehr sicher. Und dann noch zeigen, dass wenn [mm]\phi[/mm] Isomorphismus [mm]\Rightarrow[/mm] C eine Basis?! Also ich versteh nicht warum das gelten sollte und wenn es gilt wie ich das beweisen kann. Das ist mir absolut nicht klar.
(b) Was sind Automorphismen, ist meine erste Frage. Zweit: ich muss das mit den Untervektorraumkriterien dann zeigen, oder?
(c) weiß ich leider nichts. Kein Ansatz und keine Idee. :(
Brauche Hilfe, bitte. Vielen Dank im voraus
Elbi
|
|
| |
|
Hallo,
zu a)
Naja, überlege genau was Isomorphismen sind. Dann zeige dass wenn [mm] $\phi$ [/mm] ein Isomorphismus ist, dass es dann eine Basis ist. Eine Basis ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem. Du musst also zeigen, dass es den ganzen Vektorraum dann erzeugt und zum zweiten dass dieses Erzeugendensystem linear unabhängig ist. Bzw. es würde sogar reichen, zu zeigen, dass [mm] $C_1,\ldots,C_n$ [/mm] linear unabhängig sind. Denn genau dann ist [mm] $\phi$, [/mm] so wie [mm] $\phi$ [/mm] definiert wurde, ein Isomorphismus.
zu b)
Automorphismus = isomorpher Endomorphismus
zu c)
naja, [mm] $\beta$ [/mm] ist definiert, einfach nachrechnen, obs denn auch ein Gruppenhomomorphismus ist.
--
Matthias
|
|
|
|
